YbtOJ 状压dp E. 1.最优组队_【ybtoj】最优组队-优快云博客

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本文介绍了一种针对状态转移方程的优化方法，通过仅枚举子集而非所有可能集合来降低算法的时间复杂度。从初始的O(2^2n)优化到了O(n^3)，适用于解决涉及子集和状态转移的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

显然设置 $f_i$ 为状态为 $i$ 的情况下最大和谐度。枚举各个子集 $i$ 再枚举 $i$ 的各个子集 $j$ 进行转移，复杂度 $O(2^{2n})$ ， $n≤16n\le16$ ，显然TLE。

#include<bits/stdc++.h>//注意位运算的优先级,加括号控制
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int f[maxn],n,top;
signed main()
{
    cin>>n;
    top=(1<<n)-1;
    for(int i=1;i<=top;i++) cin>>f[i];
    for(int i=1;i<=top;i++)
        for(int j=1;j<=top;j++)
            if(i!=j&&((i|j)==i)) f[i]=max(f[i],f[j]+f[i^j]);
    cout<<f[top]<<endl;
    return 0;
}

所以考虑只枚举 $i$ 的子集进行优化，

for(int j=(i-1)&i;j;j=(j-1)&i)

举个例子

那么复杂度是

$∑N⊇I∑I⊇J1=∑N⊇I2∣I∣\sum_{N\supseteq I }^{} \sum_{I\supseteq J}^{}1=\sum_{N\supseteq I }^{}2^{|I|}$

由于 $N$ 中大小为 $i$ 的子集个数是 $(nI)\begin{pmatrix}n\\I\end{pmatrix}$ ，所以：

$=∑i=1n(nI)×2i=\sum_{i=1}^{n}\begin{pmatrix}n\\I\end{pmatrix}\times 2^i$

用二项式定理计算：

$=∑i=1n(nI)×2i×1n−1=\sum_{i=1}^{n}\begin{pmatrix}n\\I\end{pmatrix}\times 2^i\times1^{n-1}$

$1+2)^n−1$

所以时间复杂度为 $O(n^3)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int f[maxn],n,top;
signed main()
{
    cin>>n;
    top=(1<<n)-1;
    for(int i=1;i<=(1<<n)-1;i++) cin>>f[i];
    for(int i=1;i<=top;i++)
        for(int j=(i-1)&i;j;j=(j-1)&i)
            if(i!=j&&((i|j)==i)) f[i]=max(f[i],f[j]+f[i^j]);
    cout<<f[top]<<endl;
    return 0;
}