10、反馈线性化与控制系统设计及非线性稳定性分析

反馈线性化与控制系统设计及非线性稳定性分析

1. 输入 - 输出反馈线性化控制器

1.1 反馈线性化技术概述

反馈线性化技术主要有两种：输入 - 状态反馈线性化和输入 - 输出（I/O）反馈线性化。输入 - 状态反馈线性化需要复杂的数学工具，如 Frobenius 定理和李代数，推导的控制律往往因需确定非线性状态空间变换及其逆而复杂。而 I/O 反馈线性化应用直接，更具工程性，适用于大量非线性控制问题，如机器人操作器、机械系统和其他拉格朗日系统。

1.2 反馈线性化控制器设计

1.2.1 示例系统与问题描述

给定系统动力学，目标是设计跟踪控制器，使 $x_1(t)$ 跟踪用户指定的期望轨迹 $Y_d(t)$，这是传统线性时不变（LTI）技术难以解决的复杂设计问题。

1.2.2 I/O 反馈线性化步骤

• 选择输出 $y(t) = x_1(t)$，根据性能规格定义输出。
• 反复对 $y(t)$ 求导，并代入系统状态导数，直至控制输入 $u(t)$ 出现：
  • $y = X_1 = X_1X_2 + X_3$
  • $y = X_1X_2 + X_1X_2 + X_3 = [\sin x_1 + X_2X_3 + x_1x_2^2]+ [1 + x_1^2]u = f(x) + g(x)u$
• 定义变量 $z_1 = y$，$z_2 = y$，则 $Z_2 = f(x) + g(x)u$。
• 通过重新定义输入 $v(t) = f(x) +