22、惩罚逻辑回归：原理、应用与比较

惩罚逻辑回归：原理、应用与比较

1. 引言

在机器学习的分类问题中，逻辑回归是一种常用的方法。然而，为了使模型在处理未见数据时具有更好的泛化能力，常常需要对逻辑回归进行正则化处理。本文将介绍惩罚逻辑回归的相关内容，包括基于对数似然和基于秩的方法的正则化，以及支持向量机（SVM）与逻辑回归的联系，并通过具体的圆形数据示例进行分析。

2. 惩罚逻辑回归方法

2.1 对数似然表达式

2.1.1 岭回归（Ridge）

岭回归可应用于对数似然逻辑回归，其目标函数为：
[
J_{LLR - ridge}(\beta) = - \sum_{i = 1}^{n} [y_i \log p_i + (1 - y_i) \log(1 - p_i)] + \lambda_2 \beta^T \beta
]
其中，(\lambda_2 > 0) 是正则化参数。通过最小化该目标函数得到惩罚估计 (\hat{\beta}_{LLR - ridge}^n)。使用梯度下降法进行优化，参数更新方程为：
[
\beta^{(t + 1)} = \beta^{(t)} - \ell \times [X^T(p(X) - y) + 2\lambda_2 \beta^{(t)}]
]
或等价地：
[
\beta^{(t + 1)} = \beta^{(t)}(1 - 2\ell\lambda_2) - \ell \times [X^T(p(X) - y)]
]
其中，(\ell) 是学习率，控制每次迭代的步长。

2.1.2 L