BZOJ 1009 GT考试 KMP+DP+矩阵快速幂

最新推荐文章于 2020-01-10 00:57:31 发布

原创最新推荐文章于 2020-01-10 00:57:31 发布 · 587 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

模板同时被 3 个专栏收录

54 篇文章

订阅专栏

BZOJ

45 篇文章

订阅专栏

那里DP姹紫嫣红开遍

27 篇文章

订阅专栏

本文深入浅出地介绍了KMP算法的原理与应用，通过生动的例子解释了nxt指针的作用及计算方法，并给出了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门

分析：
第一次写KMP的题目（就这么难……….我好可怜Ｏ(≧口≦)Ｏ）
今天秦神上课讲了这道题，没听懂，不会写QAQ，而且本来也不会写KMP，所以一上午都耗在这道题上了…………
首先来说一说KMP算法的nxt数组，nxt[i]代表前i位最长前缀等于后缀的长度，我们先假装你会求nxt数组，我们先来研究一下nxt是、指针有什么用？
在研究nxt指针之前我们先来研究一个好玩的小人漫步游戏（其实就是AC自动机）
我们有这样一个字符串abaaba
它的AC自动机长什么样子捏?_?
这里写图片描述
长这个样子，小人从0号节点出发，首先如果我们匹配到第一个字符为a那么小人就走到1号节点，否则就不动，到达1号节点之后，如果我们很幸运地碰到了b，那么小人就可应走到2号节点，但是如果我们碰到a怎么办呢，答案是原地不动，因为我们现在面临的串是aa，但是很明显我们的匹配串并没有aa这个前缀，但是我们有a这个前缀，所以我们面临的串可以看为*a，so原地踏步就好了，但是如果碰到其他字符就真的over了，只能回到0号节点，乖乖地接着匹配。
然后假如小人碰到了b到了2号节点，然后很幸运地又碰到了a到了3号节点，接下来就很不幸没有碰到a，碰到了b，怎么办呢？回到原点吗？不，应该回到2号节点，为什么呢？？小人当前面临的串为abab，我们没有abab这个前缀，但是我们有ab这个前缀呀，所以串可以看成**ab那不就是2号节点的状态吗，其他指针与此原理相同，就不再赘述。通过张图我们可以发现，其实小人每次匹配失败之后，跳转到的地方都是当前失败状态的一个后缀的开始，而这个后缀与前缀相同……….感觉很有道理
接下来再说nxt指针
nxt指针其实也可以形象地成为失败指针，也就是说当模式串与匹配串匹配失败之后，需要借助nxt指针来跳转到下一个开始重新匹配的地方，而不用每次向后以龟速爬行一步（……..）
画张图来解释以下（我是个灵魂画师，大家不要介意）
这里写图片描述
当我们匹配到蓝色部分完成时候发现下一个字符无法匹配，暴力的思想应该是把匹配串向后挪一个字符接着匹配，但是我们观察一下就可以发现，其实和AC自动机一样，当前匹配失败后，我们可以直接跳转到j处开始匹配，原理和AC自动机相同……………>o<
接下来就要面临一个很严肃的问题，怎么求nxt指针(⊙o⊙)…
看了很久其他人的文章我依旧是十脸茫然……………..>_<
后来抄了几遍代码忽然就懂了…………
但是我还是不知道怎么讲出来………（觉得自己弱爆了），可能理解还不够深刻吧，过几天再看看或许会有新的收获，所以在这里只放一个链接，防止自己以后忘光了不知道看啥………….
nxt指针的计算方法
所以接下来我们回归这道题：
其实这道题可以转化为从初始状态，到达非结尾状态的路径有多少条（初始状态就是0，结尾状态就是不吉利数字完全匹配）
f[i][j]代表从i状态到达j状态经过一条路径的方案数，根据POJ3613的经验我们可以知道，f^n代表经过n条边的方案数，经过n条边什么意思呢，就是填n个数字
所以问题就转化为了如何构造初始矩阵
根本不会……………后来经过YOUSIKI童鞋的讲解，还有结合秦神的代码才勉强把这道题A了QAQ忧伤ing………..
首先我们我们知道每一位数字只有10种可能的数字0~9，所以如果当前处于i状态，我们就枚举我们要通过哪条路径到达下一个状态，也就是下一位填哪个数字，并且不吉利数字的第i+1位等于我们当前枚举的j，那么就代表从i可以转移为i+1，所以M.a[i][i+1]++,代表多了一种方案数，如果不是，就代表匹配失败，我们就要通过nxt指针寻找下一个开始重新匹配的地方k，也就是说i可以转移为k所以M.a[i][k]++
大概就是这个意思吧，说的不够清楚，但愿将来我再看的时候还看得懂QAQ……….>_<

代码如下：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=20+5;
int n,m,MOD,str[maxn],nxt[maxn];
char s[maxn];
struct lala{
    int a[maxn][maxn];
}ONE,S,RES,M;
lala operator *(lala x,lala y){
    lala ans;
    memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));//一定要记得初始化
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            for(int k=0;k<m;k++)
                ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]%MOD)%MOD;
    return ans;
}
inline void getnext(){
    int k;
    nxt[0]=nxt[1]=0;
    for(int i=1;i<m;i++){
        k=nxt[i];
        while(k&&str[k+1]!=str[i+1])
            k=nxt[k];
        if(str[k+1]==str[i+1])
            nxt[i+1]=k+1;
        else
            nxt[i+1]=0;
    }
}
inline lala pow(lala a,int b){
    lala ans=ONE;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=ans*a;
        a=a*a,b>>=1;
    }
    return ans;
}
inline void getmatrix(){
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<=9;j++)
            M.a[i][j]=0;//一定要记得初始化
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<=9;j++){
            int k=i,pos;
            while(k&&str[k+1]!=j)
                k=nxt[k];
            if(str[k+1]==j)
                pos=k+1;
            else
                pos=0;
            M.a[i][pos]++;
        }
}
signed main(void){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&MOD);
    scanf("%s",s+1);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        str[i]=s[i]-'0';
    getnext();
    for(int i=0;i<=m;i++)
        ONE.a[i][i]=1;
    getmatrix();
    RES=pow(M,n);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<m;i++)
        ans=(ans+RES.a[0][i])%MOD;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}