poj 2480 gcd求和

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本文介绍了一种利用积性函数性质求特定数论函数F的高效算法。通过分解质因数并应用积性原理，文章给出了计算F=sum(gcd(i,n))的具体步骤和C++实现代码。

可以容易得知，F=sum(p*phi(n/p))。

由于gcd(i,n*m)=gcd(i,m)*gcd(i,n)，所以gcd为积性函数。而积性函数之和为积性函数。

所以F=sum(gcd(i,n))为积性函数。n=p1^k1*p2^k2….所以f(p1^k1)*f(p2^k2)…=F。

而f(p^r)由最初公式知f(p^r)=p*phi(n/p)r=p(p-1)*r。代入以上公式即可求得。

代码如下：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define int __int64
using namespace std;
int n,m,ans,a,p;
signed main(void){
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF){
        m=floor(sqrt((double)n)),ans=n;
        for(int i=2;i<=m;i++){
            if(n%i==0){
                a=0,p=i;
                while(n%p==0)
                    a++,n/=p;
                ans+=ans*a*(p-1)/p;
            }
        }
        if(n!=1)
            ans+=ans*(n-1)/n;
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}