杨辉三角
杨辉三角有 第0层， 所以第n层，与第n行含义不同
第n行 为第n-1 层，下面结论 要分辨 行与层
第0层 1
第1层 1 1
第2层 1 2 1
第3层 1 3 3 1
第4层 1 4 6 4 1
第5层 1 5 10 10 5 1
第6层 1 6 15 20 15 6 1
第7层 1 7 21 35 35 21 7 1
第8层 1 8 28 56 70 56 28 8 1
第9层 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
( a + b ) 0 = 1 ( a + b ) 1 = a + b ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 (a+b)^0=1 \\ \quad\ \ \ (a+b)^1=a+b \\ \quad\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ \quad\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (a+b)0=1 (a+b)1=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
- 杨辉三角的第n层的数，对应二项式 ( a + b ) n (a+b)^n (a+b)n 展开式n的系数
- 每一层 对应元素 C n 0 C_n^0 Cn0 C n 1 C_n^1 Cn1 ⋯ \cdots ⋯ C n k C_n^k Cnk ⋯ \cdots ⋯ C n n − 1 C_n^{n-1} Cnn−1 C n n C_n^n Cnn
- 两条斜边数字 都为1 ，而其余数 为上层两数之和 C n k = C n − 1 k − 1 + C n − 1 k C_n^k =C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k Cnk=Cn−1k−1+Cn−1k
- 第n层的 第m个数 与第n-m 个数 相等 C n m = C n n − m C_n^m= C_n^{n-m} Cnm=Cnn−m
- 每层数字和 为 2 n 2^n 2n （n为层数）
-
依据 性质5 ，可得出 前n 行（0层到n-1 层）的和 符合 公比为2
等比公式 S n = a 1 ∗ ( 1 − q n ) ( 1 − q ) = 2 n + 1 − 1 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 = 2 5 − 1 S_n =\frac{a1*(1-q^n)}{(1-q)} =2^{n + 1}-1 \quad \ \ \ \ \ 2^0+2^1+2^2+2^3+2^4=2^5-1 Sn=(1−q)a1∗(1−qn)=2n+1−1 20+21+22+23+24=25−1
-
前n 行 共有多少个数字 ，（即前n-1层），符合等差 数列公式，公差为1
S n = n a 1 + n ( n − 1 ) 2 d = n + n 2 − n 2 = n ( n + 1 ) 2 S_n= na_1+\frac{n(n-1)}{2}d= n+\frac{n^2-n}{2}= \frac{n(n+1)}{2} Sn=na1+2n(n−1)d=n+2n2−n=2n(n+1) （n 为行 ，即n-1 层）
- 求 前n行 所有 偶数的个数，
(注意公式计算的结果 是 从0 层开始的 前n行的 偶数个数)
（前4行 对应的 从0 层到 第 3层）
S 0 = S 1 = 0 S 2 n = 3 S n + n ( n − 1 ) 2 S 2 n + 1 = 2 S n + S n + 1 + n ( n + 1 ) 2 \quad S_0 = S_1=0 \\ \quad S_{2n}=3S_n+\frac{n(n-1)}{2} \\\quad S_{2n+1}= 2S_n+S_{n+1}+\frac{n(n+1)}{2} S0=S1=0S2n=3Sn+2n(n−1)S2n+1=2Sn+Sn+1+2n(n+1)
知道每一层 偶数的个数，递归+记忆化(解决多组数据) +大数
就可以求 前n行 一共的个数
具体代码：https://blog.youkuaiyun.com/nefu__lian/article/details/108931799
- 思考 前n行 所有 奇数个数， 可以由 性质 7，8 共同得到
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