宝物筛选_NOI导刊2010提高（02）————二进制优化背包

最新推荐文章于 2024-02-22 15:47:09 发布

Yuki_nan

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分类专栏：动态规划———背包DP 文章标签： dp 动态规划

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博客介绍了如何使用二进制优化技术解决背包问题，通过将每种物品拆分为具有不同系数的子物品，降低01背包问题的复杂度，以达到在不超过采集车最大载重的情况下最大化宝物价值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

终于，破解了千年的难题。小FF找到了王室的宝物室，里面堆满了无数价值连城的宝物……这下小FF可发财了，嘎嘎。但是这里的宝物实在是太多了，小FF的采集车似乎装不下那么多宝物。看来小FF只能含泪舍弃其中的一部分宝物了……小FF对洞穴里的宝物进行了整理，他发现每样宝物都有一件或者多件。他粗略估算了下每样宝物的价值，之后开始了宝物筛选工作：小FF有一个最大载重为W的采集车，洞穴里总共有n种宝物，每种宝物的价值为v[i]，重量为w[i]，每种宝物有m[i]件。小FF希望在采集车不超载的前提下，选择一些宝物装进采集车，使得它们的价值和最大。

输入输出格式

输入格式：

第一行为一个整数N和w，分别表示宝物种数和采集车的最大载重。

接下来n行每行三个整数，其中第i行第一个数表示第i类品价值，第二个整数表示一件该类物品的重量，第三个整数为该类物品数量。

输出格式：

输出仅一个整数ans，表示在采集车不超载的情况下收集的宝物的最大价值。

输入输出样例

输入样例#1：复制

输出样例#1：复制

说明

对于30%的数据：n≤∑m[i]≤10^4；0≤W≤10^3。

对于100%的数据：n≤∑m[i]≤10^5；

0 <w≤4*10^4：1≤n<100。

————————题面来源于洛谷

首先此题第一眼看到的时候，不就是多重背包吗？。当我信心满满的交了上去，闭着眼等着ac，~~听取WA声一片~~。。

看了一眼数据范围。差点吓尿，瞬间放弃。。。

直到不久前，我学习了二进制优化背包。

另一种好想好写的基本方法是转化为01背包求解：把第i种物品换成n[i]件01背包中的物品，则得到了物品数为Σn[i]的01背包问题，直接求解，复杂度仍然是O(V*Σn[i])。

但是我们期望将它转化为01背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想，我们考虑把第i种物品换成若干件物品，使得原问题中第i种物品可取的每种策略——取0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，取超过n[i]件的策略必不能出现。

将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为 1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。

分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，这样就将第i种物品分成了O(log n[i])种物品，将原问题转化为了复杂度为<math>O(V*Σlog n[i])的01背包问题，是很大的改进。

i<<=1则表示将以上的二进制码往左移动一位，低位补零。.

所以无符号位移有结论：i<<=n 等价于 i=i*(2的n次方）; i>>=n 等价于 i=i/（2的n次方）（n>=0）（暂不考虑溢出的情况）

上代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m;
struct node{
    int v,w,m;
}baowu[100001];
int dp[100001];//滚动数组 
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>baowu[i].v>>baowu[i].w>>baowu[i].m;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int left=baowu[i].m;
        for(int k=1;left;k<<=1){
            if(k>left) k=left;
            left-=k;
            int w=baowu[i].w*k;
            int v=baowu[i].v*k; 
            for(int j=m;j>=w;j--)
	        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w]+v);
        }
    }
    cout<<dp[m];
    return 0;
}

left w v

2 9 3请按任意键继续. . .

0 18 6请按任意键继续. . .
0 9 5请按任意键继续. . .
1 4 9请按任意键继续. . .
0 4 9请按任意键继续. . .
2 1 8请按任意键继续. . .

0 2 16请按任意键继续. . .

每次循环left为0的时候，表示这个物品已被决定完毕。