puzzle（0331）数字拼图滑动

目录

一，矩形数字拼图滑动

1，链接

2，游戏规则

3，术语

4，总状态数奇偶不变定理

5，判定——必要性

6，极小化

7，策略（化为子问题）

8，判定——充分性

9，OJ实战

SGU 139 Help Needed

二，异形谜盘

三，三角形数字拼图滑动（三角形方向不可变）

四，三角形数字拼图滑动（三角形方向可变）

233问题

433问题

五，六边形数字拼图滑动

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一，矩形数字拼图滑动

1，链接

4399拼图游戏

或者我是最强大脑这个app中的数字华容道小游戏中的经典模式。

 

2，游戏规则

给你一个n（n>1）行m（m>1）列的矩阵，刚好由0,1,2。。。。。。n*m-1这n*m个数组成。

通过一系列的操作，使得矩阵变成如下状态（以下简称复原状态）：

按照从上到下（一级排序），从左到右（二级排序）来排序，矩阵可以排成数列1,2,3,4。。。。。。n*m-2,n*m-1,0

操作只有1种，0和0的若干邻居（上下左右，最多4个邻居）中的某一个交换位置。

拼图游戏里面，0对应的格子是空的。

3，术语

逆序：

对于n个不同的元素，先规定个元素之间有一个“标准次序”（例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就有1个“逆序”。点击打开百科词条

逆序数：

一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的“逆序数”。点击打开百科词条

曼哈顿距离：

固定直角坐标系上两点所形成的线段对轴产生的投影的距离总和。点击打开百科词条

总状态数：

逆序数是数列的一种状态数，曼哈顿距离是线段的一种状态数。

同样的，对于如上所说的n*m的矩阵，也可以定义总状态数。

总状态数=逆序数+0所在的格子到右下角的格子的曼哈顿距离（以下简称曼哈顿距离）。

4，总状态数奇偶不变定理

对于一个序列，每交换任意2个数，逆序数的奇偶性都会改变1次。

对于拼图游戏，每交换一次，曼哈顿距离的值都加1或者减1，所以奇偶性也会改变1次。

所以说，对于拼图游戏，总状态数的奇偶性是永远不变的。

5，判定——必要性

任何1个n*m的矩阵，是否都能移成复原状态呢？不一定。

首先，复原状态的总状态数的奇偶性可以算出来，曼哈顿距离为0，逆序数为n*m-1

所以总状态数的奇偶性就是n*m-1的奇偶性。

那么，对于任意给定的矩阵，很明显有的状态的奇偶性符合，有的却不符合。

根据总状态数奇偶不变定理，奇偶性不对的肯定无法复原，比如

这个状态的逆序数为15，曼哈顿距离为0，所以这个状态为奇，

而总状态数的奇偶性是3*5-1=14为偶，所以这个状态肯定无法复原。

有的状态是可以复原的，比如

这个状态的逆序数为14，曼哈顿距离为4，和为偶，经验证，这个状态是可以复原的。

说起来，这2个图就是上面的链接里面的4399游戏截图的，因为初始化比较慢，

而且还没初始化完就可以开始点了，于是我侥幸能得到这2张图。

那么，是不是只要状态的奇偶性对了，就一定可以复原呢？

这个值得思考，请继续看！

6，极小化

对于2*2的拼图，只有4！=24种状态。n=2,m=2,n*m-1=3

可以验证，有12种奇状态，全部可以复原，有12种偶状态，全部无法复原。