puzzle（0231）圆滚动问题

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问题一

问题二

问题三

问题四

问题五

小结

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问题一

圆A和圆B半径相同，A绕着B无滑动转一圈，问A一共转了几圈？

答案是2圈，证明方法很多，可以用正多边形来逼近圆。

问题二

圆A和圆B半径分别为r1和r2，A绕着B无滑动转一圈，问A一共转了几圈？

答案是 (r1+r2)/r1

显然问题一就是问题二的一个特例。

问题三

一个圆A的半径为r，A绕着一个凸简单曲线B的外面转动一圈，问A一共转了多少圈？

有两种思路，思路一是B的周长 / r + 1，思路二是A圆心的轨迹长度 / r

显然，这两种思路是不等价的，但是对于问题二来说结果是一样的。

我在思考到底是思路一是对的还是思路二是对的的时候，有两种思路，第一种是看对于不同的场景，哪个更具有普适性，第二种是直接根据微积分来推算。

我们先看看不同的场景，先对公式做更好的理解。

问题四

圆A和圆弧B半径分别为r1和r2，圆弧角度为d，A从B的一端转到B的另外一端，问A一共转了几圈？

根据问题二的结论很容易推出来，是 (r1+r2)/r1 * d / (2π)

当d=2π时B是圆，上式=(r1+r2)/r1

有了圆弧的结论，凸简单曲线就可以按照很多小圆弧拼起来来理解了。

问题五

圆A和圆弧B半径分别为r1和r2，圆弧角度为d，A在B的内侧从B的一端转到B的另外一端，问A一共转了几圈？

答案是 (r2-r1)/r1 * d / (2π)

小结

分析了各种场景之后，还是很难分析出问题三的思路一和思路二哪个对。

不过参考了一些网友说的相对运动的思路之后，应该是思路一吧。

推广到一般曲线：

圆A半径为r，简单曲线B长为c，A从B的一端转到B的另外一端，问A一共转了几圈？

把B按照凹凸分段，各段分别求弧度，A转动的总圈数是 c/r + (凸弧弧度之和-凹弧弧度之和) / (2π)