费马大定理

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#算法

于 2021-05-14 00:15:37 首次发布

一，费马大定理

1，费马大定理

当n>2时， $x^n+y^n=z^n$ （x,y,z>0）无解

2，等价表述

首先，费马大定理等价于，当n=4或奇素数p时， $x^n+y^n=z^n$ （x,y,z>0）无解

其次，因为 $x^4+y^4=z^2$ 无解，所以 $x^4+y^4=z^4$ 无解，参考不定方程_nameofcsdn的博客-优快云博客

所以，费马大定理等价于，当n为奇素数p时， $x^n+y^n=z^n$ （x,y,z>0）无解

二，证明概要

1，弗赖曲线

假如费马大定理不成立，即存在 $a^p+b^p=c^p$ ，p是奇素数，

则存在弗赖曲线： $y^2=x(x+a^p)(x-b^p)$

PS：假如费马大定理成立，则不存在弗赖曲线

2，已知定理

弗赖曲线是一种半稳定的椭圆曲线。

弗赖曲线不是模形式的椭圆曲线。

3，怀尔斯定理

不存在不是模形式的半稳定椭圆曲线。

结合以上结论，用反证法得出，费马大定理成立。

三，OJ实战

CSU 1337 搞笑版费马大定理

题目：

Description
费马大定理：当n>2时，不定方程a^n+b^n=c^n没有正整数解。比如a^3+b^3=c^3没有正整数解。为了活跃气氛，我们不妨来个搞笑版：把方程改成a^3+b^3=c3，这样就有解了，比如a=4, b=9, c=79时4^3+9^3=793。

输入两个整数x, y, 求满足x<=a,b,c<=y的整数解的个数。

Input
输入最多包含10组数据。每组数据包含两个整数x, y（1<=x,y<=10^8）。

Output
对于每组数据，输出解的个数。

Sample Input
1 10
1 20
123 456789
Sample Output
Case 1: 0
Case 2: 2
Case 3: 16

代码：

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
 
int dx[5] = { 0,2,3,4 ,1 }, dy[5] = { 7,5,6,9,8 };
 
int f(int x, int y)
{
	int r = 0;
	for (int i = 0; i < 5; i++)
	{
		for (int a = dx[i]; a*a*a <= y*10+3; a += 10)
		{
			if (a < x)continue;
			if (a > y)break;
			for (int b = dy[i]; b*b*b <= y * 10 + 3; b += 10)
			{
				if (b < x)continue;
				if (b > y || a*a*a + b*b*b > y * 10 + 3)break;
				if (a*a*a + b * b*b >= x * 10 + 3)r++;
			}
		}
	}
	return r;
}
 
int main()
{
	int x, y, ca = 0;
	while (cin >> x >> y)cout << "Case " << ++ca << ": " << f(x, y) * 2 << endl;
	return 0;
}