兰顿蚂蚁的奇妙之旅-优快云博客

一，兰顿蚂蚁

从0开始

一，兰顿蚂蚁

部分内容来自matrix67的博客 Matrix67.com - Home

从0开始

初始时，蚂蚁位于一张空白画布的某个方格里。如果当前蚂蚁在白色方格上，则对当前方格反色，左转 90 度，前进一格；如果当前蚂蚁在黑色方格上，则对当前方格反色，右转 90 度，前进一格。如此反复。

前面16步：

matrix67的博客里有这个程序，在100*100的表格上运行。

到了10000步开始有规律：

到了这里，由于到了程序设置的边界，就停止了，实际上应该是无限进行下去的。

从残局开始

如果在这个时候，不进行格子的初始化，而把蚂蚁放到最开始的地方和方向，会发生什么呢？

第二次、第三次轮回的循环，和第一次都在同一个位置：

蚂蚁的第四次轮回，出现了新的循环：

PS：第1-11670步是第一次轮回，第11671-17629步是第二三四次轮回

第五次轮回，又出现了新的循环：

第六次轮回：

第七次轮回：

第八次、第九次轮回又在第六次轮回的位置：

第十次轮回又在第四次轮回的地方：

第十一次轮回：

第十二次轮回，又在第七次轮回的位置，

而第四次轮回的位置，因为表格大小的限制，已经毁了。

如果表格够大，有可能第十二次轮回就不在这个位置了。

从这里开始，规律已经开始受到表格大小的限制变得不一定准确了。

第十三次轮回，看似被毁掉的循环居然又复原了

第十四次轮回，应该是因为表格大小限制，没有任何循环产生。而且我忘了截图。

第十五次轮回：

第十六次轮回：

附上统计表：

二，兰顿蚂蚁的空间结构分析

1，节点完整信息

在一个无限大的二维空间中，每个格子都用0或者1表示。

除此之外，蚂蚁的位置和朝向还需要3个整数来表示。

这些就构成了一个节点的完整信息。

2，有向图

如果把蚂蚁运动一步，表示成从一个节点到另一个节点画一条有向边，那么无限多的节点就可以表示成一个无限大的有向图。

显然，每个节点的入度和出度都是1

3，空间结构

只根据“每个节点的入度和出度都是1”这一个信息，我们可以推导出，每个连通子集要么是一个环，要么是一条直线（收尾都无限延伸）

根据兰顿蚂蚁的实际情况，直线是一定存在的，因为存在这种无限延伸的高速公路：

那么，是否存在环呢？

这个问题我没有搜到答案，它比想象中的要难。

有一个相关的猜想：是不是从任意状态开始，最终都会生成一条无限延伸的高速公路？

如果这个猜想成立，那兰顿蚂蚁的空间结构就不存在环。

如果这个猜想不成立，也不代表兰顿蚂蚁的空间结构就一定存在环。

三，OJ实战

力扣面试题 16.22. 兰顿蚂蚁

一只蚂蚁坐在由白色和黑色方格构成的无限网格上。开始时，网格全白，蚂蚁面向右侧。每行走一步，蚂蚁执行以下操作。

(1) 如果在白色方格上，则翻转方格的颜色，向右(顺时针)转 90 度，并向前移动一个单位。
(2) 如果在黑色方格上，则翻转方格的颜色，向左(逆时针方向)转 90 度，并向前移动一个单位。

编写程序来模拟蚂蚁执行的前 K 个动作，并返回最终的网格。

网格由数组表示，每个元素是一个字符串，代表网格中的一行，黑色方格由 'X' 表示，白色方格由 '_' 表示，蚂蚁所在的位置由 'L', 'U', 'R', 'D' 表示，分别表示蚂蚁左、上、右、下的朝向。只需要返回能够包含蚂蚁走过的所有方格的最小矩形。

示例 1:

输入: 0
输出: ["R"]

示例 2:

输入: 2
输出:
[
  "_X",
  "LX"
]

示例 3:

输入: 5
输出:
[
  "_U",
  "X_",
  "XX"
]

说明：

K <= 100000

class Solution {
public:
	vector<string> printKMoves(int K) {
		m.clear();
		r = c = 0;
		dire = 1;//上右下左0123
		rmin = rmax = cmin = cmax = 0;
		dir = 'R';
		while (K--)move();
		vector<string>ans;
		for (int i = rmin; i <= rmax; i++) {
			string s = "";
			for (int j = cmin; j <= cmax; j++) {
				s += m[i][j] ? 'X' : '_';
			}
			ans.push_back(s);
		}
		ans[r- rmin][c- cmin] = dir;
		return ans;
	}
	void move() {
		if (m[r][c] == 0)dire = (dire + 1) % 4, m[r][c] = 1;
		else dire = (dire + 3) % 4, m[r][c] = 0;
		if (dire == 0)r--, rmin = min(rmin, r), dir = 'U';
		if (dire == 1)c++, cmax = max(cmax, c), dir = 'R';
		if (dire == 2)r++, rmax = max(rmax, r), dir = 'D';
		if (dire == 3)c--, cmin = min(cmin, c), dir = 'L';
	}
	map<int, map<int, int>>m;
	int r, c, dire, rmin, rmax, cmin, cmax;
	char dir;
};