圆周率的表达式的一种数学推导

圆周率的表达式的一种数学推导

题设：求圆周率的一种有理数表达式（近似值）

根据三角函数知识，有：

$$tan(\frac{\pi}{4}) = 1$$
那么有：
$$\pi = arctan(1) \times 4$$
至此，我们已经把圆周率表示为了一个连续可导的函数的值的形式。接下来尝试用有理数来表示出它的近似值。
对于连续可导函数，可以使用泰勒级数，将其展开为幂级数的形式，以求取近似值。
泰勒级数的表达式是这样的：
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^{n}$$
关于泰勒级数的收敛性此处不再赘述，它在高等数学的教材中将是重要的一章。泰勒级数的思想是用（连续可导）函数在相邻点处的函数值以及各阶导数值来逼近所要求取的位置的值。
令：
$$f(x)=arctan(x)$$
则有：

f(1)(x)=11