德·梅齐里亚克的砝码问题

德·梅齐里亚克的砝码问题

题设：

一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块。后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物。

问：这4块砝码碎片各重多少？

解：

已知 4 个整数和为 40，且都不小于 1。可推出都不大于 37。

因为 37 + 1 + 1 + 1 = 40，这是最大的情形。

考虑到砝码可以放置在天平的任意一端，假设天平左端放置重物，则其重量应为天平右端砝码重量减去天平左端砝码重量。

这样，4 个砝码通过加减的排列组合获得它们可以称量的重量。

组合情形

1. 单一数字：4 种情形
2. 两数相加：6 种情形
3. 三数相加：4 种情形
4. 四数相加：1 种情形
5. 两数相减：6 种情形
6. （两数和）与（一数）之差：12 种情形
7. （两数和）与（两数和）之差：3 种情形
8. （三数和）与（一数）之差：4 种情形

从上表可见，8 种组合方式，共计有 40 种情形。而题设要求能够称量 1 至 40 磅之间的任意整数质量，即 40 个整数。由于上表已经穷举了所有的情形，因此，上表所穷举的 40 种情形就必须对应 1 至 40 之间的不同数字，即两两不等。

要有 1

如果要得到 39，则必须有 1 。

在 8 种组合中，除了四数相加，最大的情形一定是三数相加。而如果 4 个数字中没有 1，则任意三数相加都不可能得到 39 。

因此，有 1 。

没有 2

如果有2，则有 2 - 1 = 1 。

这个两数之差的情形，与单一数字 1 的情形得到了相等的数字，前文已经论证了这是不可以的。

因此，没有 2 。

为了方便讨