离散数学（二）

二分图

二分图判定

无奇长度回路

完备匹配判定

Hall定理（相异性条件）

$|V_1|<|V_2|$，$|V_1|$中任取k个点至少与与$|V_2|$中k个点相邻。

t条件

$|V_1|<|V_2|$，存在t使得$|V_1|$至少关联t个点，$|V_2|$至多关联t个点。

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欧拉图

无向欧拉图判定

欧拉通路：图连通，恰好存在2个奇度定点。
欧拉回路：图连通，不存在奇度定点

有向欧拉图判定

欧拉通路：图连通，除两个端点之外，所有点的入度等于出度。
欧拉回路：图连通，所有点的入度都等于出度。

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哈密顿图

必要条件

$P(G-|V|)\le |V|$。证明：存在哈密顿通路，则满足这个关系。
推论：存在割点的图一定不是哈密顿图

充分条件

任意两点u,v，使得$d(u)+d(v)\ge n-1$，则存在哈密顿通路。
使得$d(u)+d(v)\ge n$，则存在哈密顿回路。

平面图

1. 面的次数之和等于边数的两倍

极大平面图的性质

1. 平面图是连通的
2. 每个面的次数都是3

欧拉公式

连通平面图：$边数+面数-棱数=2$

含有k个连通分支的平面图：$边数+面数-棱数=k+1$

判定平面图

库拉图斯基定理（充要条件）
不含有与$K_{3,3}$和$K_5$同胚的子图

不可以收缩含有$K_{3,3}$和$K_5$的子图

对偶图