二分图
二分图判定
无奇长度回路
完备匹配判定
Hall定理(相异性条件)
∣V1∣<∣V2∣|V_1| \lt|V_2|∣V1∣<∣V2∣,∣V1∣|V_1|∣V1∣中任取k个点至少与与∣V2∣|V_2|∣V2∣中k个点相邻。
t条件
∣V1∣<∣V2∣|V_1|\lt|V_2|∣V1∣<∣V2∣,存在t使得∣V1∣|V_1|∣V1∣至少关联t个点,∣V2∣|V_2|∣V2∣至多关联t个点。
欧拉图
无向欧拉图判定
欧拉通路:图连通,恰好存在2个奇度定点。
欧拉回路:图连通,不存在奇度定点
有向欧拉图判定
欧拉通路:图连通,除两个端点之外,所有点的入度等于出度。
欧拉回路:图连通,所有点的入度都等于出度。
哈密顿图
必要条件
P(G−∣V∣)≤∣V∣P(G-|V|) \le|V|P(G−∣V∣)≤∣V∣。证明:存在哈密顿通路,则满足这个关系。
推论:存在割点的图一定不是哈密顿图
充分条件
任意两点u,v,使得d(u)+d(v)≥n−1d(u)+d(v)\ge n-1d(u)+d(v)≥n−1,则存在哈密顿通路。
使得d(u)+d(v)≥nd(u)+d(v)\ge nd(u)+d(v)≥n,则存在哈密顿回路。
平面图
- 面的次数之和等于边数的两倍
极大平面图的性质
- 平面图是连通的
- 每个面的次数都是3
欧拉公式
连通平面图:边数+面数−棱数=2边数+面数-棱数=2边数+面数−棱数=2
含有k个连通分支的平面图:边数+面数−棱数=k+1边数+面数-棱数=k+1边数+面数−棱数=k+1
判定平面图
库拉图斯基定理(充要条件)
不含有与K3,3K_{3,3}K3,3和K5K_5K5同胚的子图
不可以收缩含有K3,3K_{3,3}K3,3和K5K_5K5的子图