离散数学(二)

本文探讨了图论中的重要概念,包括二分图的判定、完备匹配与Hall定理,无奇长度回路的特性。接着介绍了欧拉图的无向和有向判定条件,以及欧拉通路和欧拉回路的特征。此外,还涉及哈密顿图的必要和充分条件,以及平面图的欧拉公式和面次数。最后讨论了平面图的判定及库拉图斯基定理。

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二分图

二分图判定

无奇长度回路

完备匹配判定

Hall定理(相异性条件)

∣V1∣<∣V2∣|V_1| \lt|V_2|V1<V2∣V1∣|V_1|V1中任取k个点至少与与∣V2∣|V_2|V2中k个点相邻。

t条件

∣V1∣<∣V2∣|V_1|\lt|V_2|V1<V2,存在t使得∣V1∣|V_1|V1至少关联t个点,∣V2∣|V_2|V2至多关联t个点。


欧拉图

无向欧拉图判定

欧拉通路:图连通,恰好存在2个奇度定点。
欧拉回路:图连通,不存在奇度定点

有向欧拉图判定

欧拉通路:图连通,除两个端点之外,所有点的入度等于出度。
欧拉回路:图连通,所有点的入度都等于出度。


哈密顿图

必要条件

P(G−∣V∣)≤∣V∣P(G-|V|) \le|V|P(GV)V。证明:存在哈密顿通路,则满足这个关系。
推论:存在割点的图一定不是哈密顿图

充分条件

任意两点u,v,使得d(u)+d(v)≥n−1d(u)+d(v)\ge n-1d(u)+d(v)n1,则存在哈密顿通路。
使得d(u)+d(v)≥nd(u)+d(v)\ge nd(u)+d(v)n,则存在哈密顿回路。

平面图

  1. 面的次数之和等于边数的两倍
极大平面图的性质
  1. 平面图是连通的
  2. 每个面的次数都是3
欧拉公式

连通平面图:边数+面数−棱数=2边数+面数-棱数=2+=2

含有k个连通分支的平面图:边数+面数−棱数=k+1边数+面数-棱数=k+1+=k+1

判定平面图

库拉图斯基定理(充要条件)
不含有与K3,3K_{3,3}K3,3K5K_5K5同胚的子图

不可以收缩含有K3,3K_{3,3}K3,3K5K_5K5的子图

对偶图
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