博弈(简单总结)

NIM游戏

NIM游戏是一种ICG游戏。若一个游戏满足:

  1. 有两名玩家交替行动
  2. 在游戏进程的任意时刻,可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关
  3. 不能行动的玩家判负
    则该游戏是ICG游戏(公平组合游戏)

ICG游戏是一种有向图游戏。每一个局面为一个节点,合法行动为有向边。

SG函数

  1. 在有向图游戏中,一个节点的sg值等于:SG(x)=mex(SG(y1),SG(y2),⋯ ,SG(yn))SG(x) = mex(SG(y_1),SG(y_2),\cdots,SG(y_n))SG(x)=mex(SG(y1),SG(y2),,SG(yn)),其中x为y的父节点。

  2. SG定理:n个有向图游戏的SG值等于所有游戏SG值的异或。

Acwing 219可以加深理解上述

求SG函数的方法

  1. 推荐使用dfs加bool数组求解。使用set方法容易TLE。
  2. 对于不能记忆化的SG求解,可以使用找规律的方法求解。
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