[hdu5608]function 数论变换入门 杜教筛

杜教筛第一题！
但是我根本就没用杜教筛，我连杜教筛是什么都不知道。
但是首先我们知道一个结论：

$$\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f_d=\sum_{i=1}^n\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}f_d$$
左右的$i$意义不同。右边的$i$可以当做是枚举倍数，即左边$i$是$d$的几倍。那么容易发现左右是相等的。我把这个变形叫做收缩变换。（更多变换见我另一篇博客）
收缩变换的意义在于把枚举因数转换为枚举前缀。
然后我们看到$\sum_{d|n}f_d=n^2-3n+2$，套一个前缀和就变成了 $$\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f_d=\sum_{i=1}^ni^2-3i+2$$
右边的你肯定会吧，平方和一下就变成多项式了。
左边的用一个收缩变换，变成： $$\sum_{i=1}^n\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}f_d=\frac{n^3-3n^2+2n}{3}$$
“套一个前缀和”这个技巧叫做构造收缩变换，在求前缀时非常有用。
令$S$是$f$的前缀和，把上面式子用$S$表示就有
$$\sum_{i=1}^nS_{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}=\frac{n^3-3n^2+2n}{3}$$
$i=1$的时候就能算出$S_n$了。于是我们把$i=1$的情况分开，再移一下项，就得到了最后的式子。注意右边$i$从2开始。
$$S_n=\frac{n^3-3n^2+2n}{3}-\sum_{i=2}^nS_{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}$$
然后就套用一般的做法，先$O(n^{2/3})$预处理前$n^{2/3}$的$S$，后面就递归求，用一个map来实现记忆化。
实现再稍微讲一下。你可以在草稿纸上写出一些$n$，然后看它是由哪些$f$得到的，最后预处理一般都是先赋成一个大的值，再枚举因数（事实上是枚举底数和枚举倍数）减去多余的值。
递归的部分，要用$\sqrt{n}$的时间分成若干块来统计答案。具体参考代码。

#include<cstdio>
#include<map>
using namespace std;
const long long _mod = 1000000007;
map<int,int> m;
long long ans[1111111]; //前n^(2/3)的S 
long long read() {
    long long a = 0, c = getchar(), w = 1;
    for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if(c == '-') w = -1;
    for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) a = a * 10 + c - '0';
    return a * w;
}

long long exgcd(long long a, long long b, long long& d, long long& x, long long& y) {
    if(!b) {d = a; x = 1; y = 0;}
    else {exgcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b);}
}
long long inv(long long a, long long n) {
    long long d, x, y;
    exgcd(a, n, d, x, y);
    return (x+n)%n;
}

long long calc(long long x) {
    if(x <= 1111111) return ans[x];
    if(m[x] > 0) return m[x]; //记忆化 
    long long ans = x * x % _mod * x % _mod * inv(3, _mod) % _mod - x * x % _mod;
    ans %= _mod;
    if(ans < 0) ans += _mod;
    ans += x * 2 % _mod * inv(3, _mod) % _mod;
    ans %= _mod;
    int bl; //bl是右端点
    for(int i = 2; i <= x; i = bl + 1) {
        bl = x / (x/i); //先更新bl
        ans -= (bl-i+1) * calc(x/i) % _mod; //i是左端点
        ans %= _mod;
        if(ans < 0) ans += _mod;
    }
    m[x] = ans;
    return ans;
}

int main() {       
    for(int i=1;i<1111111;i++)ans[i]=1ll*(i-1)*(i-2)%_mod;
    for(int i=1;i<1111111;i++)
        for(int j=2*i;j<1111111;j+=i) //枚举倍数减掉多余的 
        {
            ans[j]-=ans[i];       
            if(ans[j]<0)ans[j]+=_mod;
        }
    for(int i=2;i<1111111;i++)
    {
        ans[i]+=ans[i-1];
        if(ans[i]>=_mod)ans[i]-=_mod;
    }
    int T = read();
    while(T--) {
        long long n = read();
        printf("%lld\n", calc(n));
    }
    return 0;
}