STL next_permutation和prev_permutation 算法原理和自行实现

一、本文目标

在【其一 排列组合和子集生成】这篇文章中，我列举了多种实现排列和组合的方法。但是，那是以求出全部的结果为目标的函数。

如果，要求给出某个排列的前/下一个排列（字典序），那我们该怎样做呢？

在STL中，有两个算法实现了这个目标，分别是prev_permutation和next_permutation。显然，这两个函数不是求全排列求到某个排列，然后返回下一个排列或前一个排列，这种做法的复杂度绝对爆炸！

而且这两个函数除了复杂度低外，还有很多别的优点，比如按照字典序，还有就是不会列举出重复的全排列：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
   
   
	char data[] = "aabc";
	do {
   
   
		puts(data);
	} while (next_permutation(data, data + 4));
	return 0;	
}

如果我们用【其一 排列组合和子集生成】中实现的函数的话，就会列出24种情况，而且其中有12种重复的情况。这里用$next\_permutation$只列出了不重复的12种情况。

那它使用了什么黑魔法呢？这里就剖析一下。

二、next_permutation算法和思想

先让我们来看一些排列：

1
---------------
1 2
2 1
---------------
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
----------------
1 2 3 4
1 2 4 3
1 3 2 4
1 3 4 2
1 4 2 3
1 4 3 2
2 1 3 4

我们如何从一个排列转移到下一个排列呢？

首先，我们要知道这样的一件事，对于一个排列，从小到大排序的是最小的排列，从大到小排序是最大的排列。

然后，依照我们前面写排列函数的经验，求大小为$n$的排列$P(n)$，实际上是在确定第一个数有$n$种取值后，再求大小为$n-1$的排列$P(n-1)$。这是相似的问题，区别仅在数据规模的大小。

• 对于规模为1的排列，就是它本身；

• 对于规模为2的排列1 2，1和2单独看是有序的，那么如何得到下一个呢，我们可以交换1和2得到最大的排列2 1；

• 对于规模为3的排列1 3 2，有3 2逆序，因此3 2这两个数不存在更大的排列，那么必须往前看，因为不再逆序，所以容易得到 $3$ 前面的数字小于 $3$（当然，我们知道是$1$）。

  我们如何排列这些数，使得它增大，但是增大的幅度最小呢？我们必须而且只能换掉 $3$ 前面的数，换成一个更大的数。必须是因为要让排列变大；为什么是只能换掉这个数，而不是换掉3 2中的一个数呢？因为前面说过了，3 2是逆序的，不可能再让它变大了；而且如果我们换掉3或者2，将3与前面的大于3或者将2与前面大于2 的数字交换，3 2变大了，但是整个排列变小了！

  那么，这个大数从哪里来呢？

  从 $3$前面的数$1$ 的前面来，如果有的话？毫无疑问这是错误的。我们知道排列从前往后按照字典序比较，如果我们把 $3$ 前面的数 $1$ 往前面换，因为要换来一个大于 $1$ 的数（如果有的话），那么前面的数就变小了！整个排列就变小了！所以我们只能换掉这个数1，往这个数的后面换！

  现在，我们总结一下已经得到的事实——我们知道了：我们无论如何都无法让 $3$后面的