DancingLinks的应用
把dancingLink应用于实际问题时，只有一个难点，就是如何把具体的问题转换为可以精确覆盖的01矩阵模型，一旦完成了这个步后，直接套用模板就可以解决问题了。
应用之一：伤脑筋十二块
伤脑筋十二块是dancing links精确覆盖的典型应用，理解起来最容易
图2,12片5格骨牌的拼图
题目描述：
给你12个如上图的5格骨牌，如何让程序拼出如上的“口”字图形。
上图是题目的一个答案，你知道程序如何得到这个答案的吗？没错，就是用dancinglink的精确覆盖
我们想象一个有72列的矩阵，其中12列是12个骨牌，剩下60列是60个非中心部分的格子，构造出
所有可能的行来代表在一块骨牌在棋盘上得放置方案；每行有一些‘’1“，用来标识被覆盖的格子，5个1标识一个骨牌放置的位置（恰有1568个这样的行）
我们将最前面的12列命名为F,I,L,P,N,T,U,V,W,X,Y,Z,并且我们可以用两个数字i,j给矩阵中对应棋盘上的第i行第j列格子的那一列命名。通过给出那些出现了‘’1"的列的名字，可以很方便地表示每一行。
例如，图2就是与下面12行的对应的精确覆盖。
1568个行指的是12个骨牌可放置方案的总和，比如长条骨牌I共有64种放置方案，1568中就包含了这64种
这1568行中，每行都有6个1，分布在72个列中
这个矩阵的构造思路是：
首先找约束关系，这里只有两个约束关系，
（1）12个骨牌，每种只有1个，
（2）60个空格中，一个位置只能放一种骨牌（否则就要重叠着放了）
因为第一个约束关系，有了12个列来区分骨牌种类，因为第二个约束关系，有了60个选5个来表示骨牌放置
应用之二：数独问题 sudoku
解数独，生成数独，都可以使用精确覆盖，要把数独问题构造成01矩阵还是有一定的难度
首先找约束关系，这里只有四个约束关系，
(1)81个格子中每个格子只能放一个数字
(2)每一行的数字不能重复
(3)每一列的数字不能重复
(4)每一九宫内的数字不能重复
四个约束关系中，每个约束对应一个列域，对于第二个约束关系，数独中共有9行，每行可以填9个不同的数字
因此第二个列域，共有9* 9，81个列，依此类推，数独问题共有列324个。
由于81个格子，每个格子都最多有9种选择，所以行最多有81*9=729行
这样01矩阵的每行都有4个1，第一个1分布在1到81列，第二个1分布在82到162列，第三个1分布在163到243列，
最后一个1分布在其余列区域。
思考：为什么不能这样构造01矩阵，用5个1，第一个1表示格子序号，有81个列，第二个1表示数字，从1到9有9个列，第三个1表示行号，有9行，第四个1表示列号也有9个，第五个1表示九宫格序号，也有9个，这样共有117列。
为了便于理解，举个例子
9,2,0,0,0,0,0,0,0,
5,0,0,8,7,0,0,0,0,
0,3,8,0,9,1,0,0,0,
0,5,2,9,3,0,1,6,0,
0,9,0,0,0,0,0,3,0,
0,7,3,0,6,4,9,8,0,
0,0,0,4,1,0,2,5,0,
0,0,0,0,5,3,0,0,1,
0,0,0,0,0,0,0,7,3
如上数独有空格40个，已知格子41个，把这个数独构造成01矩阵，矩阵的行有
40*9+41 共401行
对于第一个数字9，在1到81列的第一列，在82到162列的第9个，即90列，在163列到243列的第9个，在244到324列的第9个各占一个1
对于第三个数字0，由于有9个选择，所以在构造01矩阵时，要向矩阵插入9个行，来表示各种可能
对于第四个数字8，它在二行四列，把这个数字写入dancing link的网状数据结构时，需要新增四个节点，这四个节点都在同一行，它们的列序号分别为，
13， 81 + 9 + 8 - 1，81 + 81 + 3 * 9 + 8 - 1，81 + 81 + 81 + 9 + 8 - 1， 序号是从0开始的，所有要减去一。
现在假设，2行6列的空格是数字8，那么这个数字也会对应四个节点，列序号分别为
15，81 + 9 + 8 - 1， 81 + 81 + 5 * 9 + 8 - 1， 81 + 81 + 81 + 9 + 8 - 1，
可以看到， 这两个8的 行域，九宫格域都是相同的，表示这两个数字的行和九宫格都相冲了，四个列域，只要有一个相冲，两条记录就不能共存。这两个8显然不能共存。
数独还有一个变种，对角线数独，两条对角线的数字也不能重复，这时构造01矩阵模型时，就需要额外增加两个列域，左对角线域，右对角线域。增加的两个列域都只有9列，
对于1行1列的数字，会在01矩阵模型中对应5个节点，
对于2行3列的数字，由于不位于两条对角线上，会在01矩阵模型中只对应4个节点，
对于5行5列的数字，恰好在两条对角线的交汇处，会在01矩阵模型中对应6个节点
对于数独的生成
总体思路是一行一行的生成，第一行可以用一个随机的1到9的排列，接下来的8行，每行都要用dancinglink求解可行的排序
（1）先对1到9这9个数进行随机排列，把这个排列作为数独终盘布局的第一行
（2）自己写函数筛选出下一行，每个格子可以填写的数字集合，筛选时不用考虑行冲突
比如对于排列5,9,7,4,2,6,8,3,1
筛选结果如下： 123468,123468,123468,135789,135789,135789,245679,245679,245679
表示对于下一行的1,2,3列，可以选择的数字集合有1,2,3,4,6,8.
下一行的4,5,6列，可以选择的数字集合有1,3,5,7,8,9
下一行的7,8,9列，可以选择的数字集合有2,4,5,6,7,9
这时，构造01矩阵，就只有2个约束关系
1 对于下一行的9个格子，每个格子只能放一个数字
2 对于下一行的9个格子中的数字，每个数字都不能重复
因为第3个和4个约束，已经在筛选时考虑进去，这里不需再多此一举
这时的01矩阵，列有9+ 9=18个，行有6* 9 = 54行（6+6+6+6+6+6+6+6+6）。
应用之三：N皇后
N皇后问题也可以转换为dancinglinks的精确覆盖问题
这里只讲如何把n皇后问题转换为01矩阵，首先有四个约束关系
（1）所有皇后不能在同一行
（2）所有皇后不能在同一列
（3）所有皇后不能在同一左斜线
（4）所有皇后不能在同一右斜线
为了便于理解，举个例子
n=8时，有8行,8列，15个左斜线，15个右斜线（2*n-1）
这样构造的矩阵有46个列，8*8=64个行
矩阵的每行都有4个1，分别分布在行域，列域，左斜线域，右斜线域
在编程求解这个问题时，需要做一点变通，因为左斜线域，右斜线域的列不可能被全部覆盖
因此只需行域和列域被完全覆盖就算找到问题的一个解了。
附：
dancing LInks 求解数独的C++代码
#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
struct Node
{
Node *up;
Node *down;
Node *left;
Node *right;
Node *colRoot; //列首
int row; //所在行
int sum; //此列节点总数
};
#define R 729
#define C 324
class Dlx
{
public:
Node *nodes,*row,*col,*head;//可用节点，行首，列首，总头节点
int rowNum,colNum,nodeCount;//行数，列数,总节点数
int *result,resultCount;//结果,结果行数
Dlx()
{
nodes=new Node[R*C];//直接用数组竟然运行不起，栈溢出了，还得放在堆里
row=new Node[R];
col=new Node[C+1];
result=new int[R];
}
~Dlx()
{
delete []nodes;
delete []row;
delete []col;
delete []result;
}
void init(int r,int c);//初始化
void cover(Node *t);//覆盖一列
void uncover(Node *t);//取消覆盖
bool solove(int k=0);//搜索出结果
void addNode(int r,int c);//添加一个节点
};
void Dlx::init(int r,int c)
{
int i;
rowNum=r;
colNum=c;
//将各列连起来,col[colNum]为总头节点
for(i=0;i<=colNum;i++)
{
col[i].up=col[i].down=col+i;
col[i].left=col + (i+colNum)%(1+colNum);
col[i].right=col + (i+1)%(1+colNum);
col[i].sum=0;
}
head=col+colNum;
//将各行节点数清零
for(i=0;i<rowNum;i++)
{
row[i].up=row[i].down=row[i].left=row[i].right=row[i].colRoot=row+i;
}
nodeCount=0;//总节点数清零
}
void Dlx::addNode(int r,int c)
{
nodes[nodeCount].up=col[c].up;
nodes[nodeCount].down=col+c;
nodes[nodeCount].left=row[r].left;
nodes[nodeCount].right=row+r;
nodes[nodeCount].row=r;
nodes[nodeCount].colRoot=col+c;
col[c].up=col[c].up->down=row[r].left=row[r].left->right=nodes+nodeCount++;
col[c].sum++;
}
void Dlx::cover(Node *t)
{
Node *p,*q;
t->left->right=t->right;
t->right->left=t->left;
for(p=t->down;p!=t;p=p->down)
{
for(q=p->right;q!=p;q=q->right)
{
q->up->down=q->down;
q->down->up=q->up;
q->colRoot->sum--;
}
}
}
void Dlx::uncover(Node *t)
{
Node *p,*q;
for(p=t->up;p!=t;p=p->up)
{
for(q=p->left;q!=p;q=q->left)
{
q->up->down=q->down->up=q;
q->colRoot->sum++;
}
}
t->left->right=t->right->left=t;
}
bool Dlx::solove(int k)
{
//是否还有未覆盖的列
if(head->right==head)
{
//记录完成覆盖所用行数
resultCount=k;
return true;
}
Node *pMin,*p,*q;
//找到节点数最少的一列,并覆盖
for(pMin=head->right,p=pMin->right;p!=head;p=p->right)
{
if(pMin->sum>p->sum)
pMin=p;
}
cover(pMin);
for(p=pMin->down;p!=pMin;p=p->down)
{
result[k]=p->row;
//选定此列上的一个节点，将此节点所在行上所有节点的对应列进行覆盖
for(q=p->right;q!=p;q=q->right)
cover(q->colRoot);
if(solove(k+1))
return true;
//如果不能成功，则取消覆盖
for(q=p->left;q!=p;q=q->left)
uncover(q->colRoot);
}
uncover(pMin);
return false;
}
int getRowIndex(int rowNum)
{
int num = rowNum%9;
int rowIndex = rowNum / 81;
return 81 + rowIndex*9 + num;
}
int getColIndex(int rowNum)
{
int num = rowNum%9;
int index = rowNum/9; //位置
int colIndex = index%9;
return 162 + colIndex*9+num;
}
int getSquareIndex(int rowNum)
{
int num = rowNum%9;
int index = rowNum/9; //位置
int rowIndex = index / 9;
int colIndex = index%9;
int squareIndex = int(rowIndex/3)*3 + colIndex/3;
return 243 + squareIndex*9+num;
}
int main3()
{
int i,j;
int node4=0;
char str[82];
Dlx dlx;
//cin>>n;
dlx.init(729,324);
//for(i=0;i<9;i++)
//{
// cin>> (str+i*9);
//}
//......52..8.4......3...9...5.1...6..2..7........3.....6...1..........7.4.......3.
const char *input = ".2738..1..1...6735.......293.5692.8...........6.1745.364.......9518...7..8..6534.";
strcpy(str,input);
for(i=0;i<729;i++)
{
//cout << "row=>" << i << "\tcol=> 位置" << i/9 <<"\t行"<<81+i/9/9*9+i%9<<"\t列"<<162+i/9%9*9+i%9<<"\t块"<< 243+(i/9/9/3*3+i/9%9/3)*9+i%9;
//cout << "row=>" << i << "\tcol=> 位置" << i/9 <<"\t行"<<getRowIndex(i)<<"\t列"<<getColIndex(i)<<"\t块"<<getSquareIndex(i);
if(str[i/9]=='.' || str[i/9]-'1'==i%9)
{
node4++;
int rowIndex = i;
int colIndex = i/9;
dlx.addNode(rowIndex,colIndex);//位置冲突
dlx.addNode(rowIndex,getRowIndex(i));//行冲突
dlx.addNode(rowIndex,getColIndex(i));//列冲突
dlx.addNode(rowIndex,getSquareIndex(i));//块冲突
// cout << "\t<=";
}
//cout << endl;
}
if(dlx.solove())
{
//结果存到字符串中
for(i=0;i<81;i++)
{
j=dlx.result[i];
str[j/9]='1'+j%9;
}
//输出字符串
for(i=0;i<9;i++)
{
for(j=0;j<9;j++)
cout<<str[i*9+j];
cout<<endl;
}
}
return 0;
}附，生成数独终盘布局的Flex代码
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<s:WindowedApplication xmlns:fx="http://ns.adobe.com/mxml/2009"
xmlns:s="library://ns.adobe.com/flex/spark"
xmlns:mx="library://ns.adobe.com/flex/mx">
<fx:Declarations>
<!-- Place non-visual elements (e.g., services, value objects) here -->
</fx:Declarations>
<fx:Script>
<![CDATA[
import model.DancingNode;
private var sample:String="1279,2367,1369,24789,4578,259,13458,1368,456";
private var rowArr:Array=[];
private var colArr:Array=[];
private var head:DancingNode;
private var nodes:Array=[];
private var cnt:Array=[];
private var answer:Array=[];
private var answerArr:Array=[];
private function _init(restrict:String):void
{
answerArr=[];
answer=[];
cnt=[];
nodes=[];
rowArr=[];
colArr=[];
var i:int;
var colLen:int=18;
var rowLen:int=restrict.split(',').join('').length;
for(i=0;i<rowLen;i++)
{
var row:DancingNode = new DancingNode(i);
rowArr.push(row);
}
for(i=0;i<=colLen;i++)
{
var col:DancingNode = new DancingNode(-1,i);
colArr.push(col);
cnt.push(0);
}
var colArrLen:int = colArr.length;
for(i=0;i<colArr.length;i++)
{
var left:int = (i+colArrLen-1)%colArrLen;
var right:int = (i+1)%colArrLen;
DancingNode(colArr[i]).left=colArr[left];
DancingNode(colArr[i]).right=colArr[right];
}
head = colArr[0];
//create links
var rowIndex:int=0;
var arr1:Array = restrict.split(',');
for(i=0;i<arr1.length;i++)
{
var arr2:Array = String(arr1[i]).split('');
for(var j:int=0;j<arr2.length;j++)
{
var colIndex1:int=i+1;
var colIndex2:int=9+int(arr2[j]);
addNode(rowIndex,colIndex1,i,int(arr2[j]));
addNode(rowIndex,colIndex2,i,int(arr2[j]));
rowIndex++;
}
}
for(i=0;i<rowLen;i++)
{
DancingNode(rowArr[i]).left.right=DancingNode(rowArr[i]).right;
DancingNode(rowArr[i]).right.left=DancingNode(rowArr[i]).left;
}
}
private function addNode(r:int,c:int,r1:int,c1:int):void
{
var node:DancingNode = new DancingNode(r,c);
node.rowValue=r1;
node.colValue=c1;
node.up = colArr[c].up;
node.down = colArr[c];
node.left = rowArr[r].left;
node.right = rowArr[r];
cnt[c]++;
colArr[c].up=colArr[c].up.down=rowArr[r].left=rowArr[r].left.right=node;
nodes.push(node);
}
private function remove(node:DancingNode):void
{
//trace("remove=>",node.col);
node.left.right = node.right;
node.right.left = node.left;
for(var p:DancingNode=node.down;p!=node;p=p.down)
{
for(var q:DancingNode=p.right;q!=p;q=q.right)
{
q.up.down=q.down;
q.down.up=q.up;
cnt[q.col]--;
}
}
}
private function resume(node:DancingNode):void
{
//trace("resume=>",node.col);
for(var p:DancingNode=node.down;p!=node;p=p.down)
{
for(var q:DancingNode=p.right;q!=p;q=q.right)
{
q.up.down=q;
q.down.up=q;
cnt[q.col]++;
}
}
node.left.right = node;
node.right.left = node;
}
private function dancing(depth:int):Boolean
{
//是否还有未覆盖的列
if(head.right==head)
{
var arr:Array=[];
for(var i:int=0;i<answer.length;i++)
{
var node:DancingNode=answer[i];
arr[node.rowValue]=node.colValue;
}
answerArr.push(arr);
return true;
}
var pMin:DancingNode;
var p:DancingNode;
//找到节点数最少的一列,并覆盖
for(pMin=head.right,p=pMin.right;p!=head;p=p.right)
{
if(cnt[pMin.col] > cnt[p.col])
{
pMin = p;
}
}
remove(pMin);
var q:DancingNode;
for(p=pMin.down;p!=pMin;p=p.down)
{
//选定此列上的一个节点，将此节点所在行上所有节点的对应列进行覆盖
answer[depth]=p;
for(q=p.right;q!=p;q=q.right)
{
remove(colArr[q.col]);
}
if(dancing(depth+1))
{
if(answerArr.length > 10)
{
return true;
}
}
for(q=p.left;q!=p;q=q.left)
{
resume(colArr[q.col]);
}
}
resume(pMin);
if(answerArr.length > 0)
{
return true;
}
return false;
}
private function getSudokuLine(restricts:Array):Array
{
var arr:Array=[];
for(var i:int=0;i<restricts.length;i++)
{
arr.push((restricts[i] as Array).join(''));
}
_init(arr.join(','));
if(dancing(0))
{
var line:Array = answerArr[int(answerArr.length*Math.random())];
trace('getSudokuLine,answer length=>',answerArr.length);
return line;
}
return [];
}
//得到随机的1到9的排列
private function getRandomArr(value:int):Array
{
var bak:Array = [];
for(var i:int=1;i<=value;i++)
{
bak.push(i);
}
var randLine:Array=[];
while(bak.length>0)
{
var index:int = bak.length*Math.random();
randLine.push(bak[index]);
bak.splice(index,1);
}
return randLine;
}
public function createFullSudoku():Array
{
var sudokuArr:Array=[];
while(sudokuArr.length < 9)
{
sudokuArr=[];
sudokuArr.push(getRandomArr(9));
for(var i:int=0;i<8;i++)
{
var restricts:Array = getRestricts(sudokuArr);
if(restricts.length==0)
{
break;
}
var line:Array = getSudokuLine(restricts);
if(line.length==0)
{
break;
}
sudokuArr.push(line);
}
}
return sudokuArr;
}
private function getRestricts(curLayout:Array):Array
{
var i:int;
var ret:Array=[];
for(i=0;i<9;i++)
{
var arr:Array=getCandidateNums(curLayout,i);
if(arr.length==0)
{
return [];
}
ret.push(arr);
}
return ret;
}
//根据当前布局curLayout,得到index列的候选数集合
private function getCandidateNums(curLayout:Array,index:int):Array
{
var i:int;
var line:Array = [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9];
if(curLayout.length==0)
{
return [1,2,3,4,5,6,7,8,9];
}
//列排除
for(i=0;i<curLayout.length;i++)
{
line[curLayout[i][index]]=0;
}
//九宫格排除
var col3_3:int = index/3;
var row3_3:int = curLayout.length/3;
var inRow3_3:int = curLayout.length%3;
for(i=row3_3*3;i<row3_3*3+inRow3_3;i++)
{
line[curLayout[i][col3_3*3] ]=0;
line[curLayout[i][col3_3*3+1] ]=0;
line[curLayout[i][col3_3*3+2] ]=0;
}
var ret:Array=[];
for(i=0;i<line.length;i++)
{
if(line[i]!=0)
{
ret.push(i);
}
}
return ret;
}
private function createSudoku():void
{
var arr:Array=createFullSudoku();
var arr2:Array=[];
for(var i:int=0;i<arr.length;i++)
{
arr2.push((arr[i] as Array).join(','));
}
area.text = arr2.join('\n');
}
]]>
</fx:Script>
<s:VGroup horizontalCenter="0" verticalCenter="0">
<s:TextArea width="300" height="300" id="area"/>
<s:Button label="get full sudoku" click="createSudoku()"/>
</s:VGroup>
</s:WindowedApplication>
package model
{
public class DancingNode
{
public var row:int;
public var col:int;
public var rowValue:int;
public var colValue:int;
public var up:DancingNode;
public var down:DancingNode;
public var left:DancingNode;
public var right:DancingNode;
public function DancingNode(r:int=-1,c:int=-1)
{
row = r;
col = c;
up = this;
down = this;
left = this;
right = this;
}
}
}
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