7、辛弹性与铁木辛柯梁理论及其拓展研究

辛弹性与铁木辛柯梁理论及其拓展研究

1. 非齐次方程的求解

在弹性力学问题中，非齐次方程的求解是一个重要的环节。首先，根据特征向量展开定理，全状态向量(v(x))可表示为：
[v(x) = \sum_{i=1}^{n}[a_i(x)\psi_i + b_i(x)\psi_{n+i}]]
其中，(\psi_i(i = 1, 2, \cdots, 2n))是与齐次方程相关的特征值(\mu_i)的特征向量，且这些特征向量已关于伴随辛正交性进行了归一化。同时，已知外力向量函数(h(x))可在特征向量下展开为：
[h(x) = \sum_{i=1}^{n}[c_i(x)\psi_i + d_i(x)\psi_{n+i}]]
其中，(c_i(x) = -\psi_{n+i}^TJ h(x))，(d_i(x) = \psi_i^TJ h(x))，这是由伴随辛正交归一化关系确定的。

将上述两式代入非齐次方程，并利用伴随辛正交归一化关系，可得到：
[\dot{a} i = \mu_i a_i + c_i]
[\dot{b}_i = -\mu_i b_i + d_i]
这样，原问题就解耦为(2n)个一阶非齐次单未知微分方程。对于一阶非齐次单未知微分方程，有标准的求解方法，其通解为：
[a_i(x) = A_i e^{\mu_i x} + \int {0}^{x} c_i(\xi) e^{\mu_i (x - \xi)} d\xi]
[b_i(x) = B_i e^{-\mu_i x} + \int_{0}^{x} d_i(\xi) e^{-\mu_i (x - \xi)} d\xi]
因此，原问题的