6、辛弹性理论：Timoshenko梁弯曲的哈密顿系统研究

辛弹性理论：Timoshenko梁弯曲的哈密顿系统研究

1. 引言

在处理Timoshenko梁的拉格朗日方程时，由于向量q是二维的，在位移空间中直接求解相对容易。不过，为了更好地向读者阐述哈密顿系统和辛数学的概念及物理意义，这里将详细推导和求解Timoshenko梁弯曲的哈密顿系统，并且该方法还可推广到n维情况。

2. 哈密顿系统的推导

2.1 引入对偶变量

根据勒让德变换，引入变量q的对偶变量p：
[p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = K_{22} \dot{q} + K_{21}q]
由此可解出(\dot{q})：
[\dot{q} = -K_{22}^{-1} K_{21}q + K_{22}^{-1} p]

2.2 定义哈密顿密度函数

引入哈密顿密度函数(H (q, p))：
[H (q, p) = p^T \dot{q} - L (q, \dot{q}) = p^TAq - \frac{1}{2}q^TBq + \frac{1}{2}p^TDp + h_q^T p - h_p^T q]
其中：
[A = -K_{22}^{-1} K_{21}, B = K_{11} - K_{12}K_{22}^{-1} K_{21}, D = K_{22}^{-1}, h_q = 0, h_p = -g]

2.3 得到对偶哈密顿系统方程

由相关方程可得对偶哈密顿系统方程：
[\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}