2、工程问题中的数值方法：梁、板、壳理论及求解方法

工程问题中的数值方法：梁、板、壳理论及求解方法

1. 梁理论

1.1 梁的定义与梁理论的优势

梁是一种平面结构元素，其厚度相较于平面尺寸较小，通常厚度与宽度之比小于 0.1。使用梁理论的好处是能将二维问题简化为一维问题，还可用于计算承受外部载荷的板的变形和应力。

1.2 基本假设

Love - Kirchhoff 假设

1. 垂直于中面的直线在变形后保持直线。
2. 垂直于中面的直线在变形后仍垂直于中面。
3. 这些直线不发生伸长，即梁的厚度在变形过程中不变。

前两个假设意味着横向位移 (w) 与横向坐标 (z) 无关，因此横向法向应变 (\varepsilon_{33}) 等于零。

大挠度梁的假设

1. 梁的厚度相较于长度和宽度较小（(h << a) 且 (h << b)），即梁为薄板。
2. 横向挠度 (w) 的大小相较于梁的长度和宽度较小，且与梁的厚度 (h) 处于同一数量级。
3. 各点的斜率较小：(\frac{\partial w}{\partial x} << 1)，(\frac{\partial w}{\partial y} << 1)。
4. 由于所有应变分量都较小，可使用线性弹性理论。
5. 前面提到的 Kirchhoff 假设成立。
6. 根据 von Karman 假设，在应变 - 位移关系中，那些依赖于面内位移 (u) 和 (v) 的非线性项