Control-车辆动力学模型-优快云博客

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本文详细探讨了车辆动力学，主要关注车辆在xxx、yyy、zzz轴上的受力分析，并建立了单车模型。该模型简化了轮胎特性，忽略了耦合效应和空气动力学，用于分析车辆的横摆和纵向运动。通过牛顿第二定律，推导出状态方程和误差动力学模型，用于描述车辆的动态行为。同时，讨论了车辆在期望路径跟踪中的横向和航向误差，为车辆操控稳定性提供理论基础。

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动力学主要研究作用于物体的力与物体运动的关系，车辆动力学模型一般用于分析车辆的平顺性和车辆操纵性的稳定性。对于车辆动力学，主要是研究车辆轮胎及相关部件的受力情况。比如纵向速度控制通过控制轮胎转速实现，横向航向控制通过控制轮胎转角实现。

正常情况下，车辆上的作用力沿着三个不同的轴分布：

$x$ 轴上的力：驱动力、制动力、滚动阻力和拖曳阻力。车辆绕 $x$ 轴做滚动运动；
$y$ 轴上的力：转向力、离心力和侧风力。车辆绕 $y$ 轴做俯仰运动；
$z$ 轴上的力：地面支持力、风压力。车辆绕 $z$ 轴做横摆运动；

在这里插入图片描述

在单车模型假设的前提下，做以下假设：

只考虑纯侧偏轮胎特性，忽略轮胎力的横纵向耦合关系；
不考虑载荷转移；
忽略横纵向空气动力学。

如图所示，单车模型具有两个自由度：绕 $z$ 轴的横摆运动和沿 $x$ 轴的纵向运动。轮胎滑移角是轮胎方向和轮胎速度方向的夹角，产生原因主要是由于轮胎所受合力并非朝向车轮行进的方向，但车轮的偏移角通常较小。

根据牛顿第二定律，分别沿 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴做受力分析：

在 $x$ 轴：
$a_x = F_{x,f} + F_{x,r} \tag{1}$
在 $y$ 轴：
$a_y = F_{y,f} + F_{y,r} \tag{2}$
在 $z$ 轴：
$I_z \ddot{\psi} = a F_{y,f} - b F_{y,r} \tag{3}$
在这里插入图片描述

车辆在 $y$ 轴的加速度 $a_y$ 由两部分构成： $y$ 轴的位移相关的加速度 $y¨\ddot{y}$ 和向心加速度 $vxψ˙v_x \dot{\psi}$ ：
$a_y = \ddot{y} + v_x \dot{\psi} \tag{4}$
则公式(2)转变为：
$(\ddot{y} + v_x \dot{\psi}) = F_{y,f} + F_{y,r} \tag{5}$
由于轮胎受到横向压力，会有一个很小的滑移角，如下图所示：

在这里插入图片描述

前后轮滑移角：
$\begin{cases} \alpha_f = \delta - \theta_{v,f} \\ \alpha_r = - \theta_{v,r} \end{cases} \tag{6}$
其中， $θv,f\theta_{v,f}$ 为前轮速度方向， $δ\delta$ 为前轮转角， $θv,r\theta_{v,r}$ 为后轮速度方向，后轮转角为 $0$ 。

前后轮所受横向力为：
$\begin{cases} F_{y,f} = 2 C_{\alpha,f}\alpha_f = 2 C_{\alpha,f}(\delta - \theta_{v,f}) \\ F_{y,r} = 2 C_{\alpha,r} \alpha_r = 2 C_{\alpha,r} (- \theta_{v,r}) \end{cases} \tag{7}$
其中， $Cα,f,Cα,rC_{\alpha,f},C_{\alpha,r}$ 分别为前后轮胎的侧偏刚度，因为前后各有两个轮胎，因此乘以 $2$ 。

$θv,f，θv,r\theta_{v,f}，\theta_{v,r}$ 的计算如下：
$\begin{cases} \tan(\theta_{v,f}) = \frac{v_y + l_f \dot{\psi}}{v_x} \\ \tan(\theta_{v,r}) = \frac{v_y - l_r \dot{\psi}}{v_x} \end{cases} \tag{8}$
根据小角度近似可得：
$\begin{cases} \theta_{v,f} = \frac{\dot{y} + l_f \dot{\psi}}{v_x} \\ \theta_{v,r} = \frac{\dot{y} - l_r \dot{\psi}}{v_x} \end{cases} \tag{8}$
整理可得状态方程：
$\frac{d}{dt} \left[\begin{matrix} y \\ \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{2C_{\alpha,f} + 2C_{\alpha,r}}{m v_x} & 0 & -v_x -\frac{2C_{\alpha,f}l_f - 2C_{\alpha,r}l_r}{m v_x} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -\frac{2C_{\alpha,f}l_f-2C_{\alpha,r}l_r}{I_z v_x} & 0 & -\frac{2C_{\alpha,f}l_f^2+2C_{\alpha,r}l_r^2}{I_z v_x}\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} y \\ \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix} 0 \\ \frac{2C_{\alpha,f}}{m} \\ 0 \\ \frac{2l_fC_{\alpha,f}}{I_z} \end{matrix}\right] \delta \tag{9}$
以相对于道路的方向和距离误差为状态变量建立误差动力学模型。假设 $e_1$ 为横向距离误差，车辆质心距离车道中心线的距离， $e_2$ 为航向误差。

假设车辆的纵向速度为 $v_x$ ，匀速平稳，转向半径为 $R$ ，则车辆转过期望角度所需的角速度为：
$\dot{\psi}_{des} = \frac{v_x}{R} \tag{10}$
所需横向加速度为：
$a_{y,des} = \frac{v_x^2}{R} = v_x \dot{\psi}_{des} \tag{11}$
则横向加速度误差为：
$\ddot{e}_1 = a_y - a_{y,des} = (\ddot{y} + v_x \dot{\psi}) - v_x \dot{\psi}_{des} = \ddot{y} + v_x(\dot{\psi} - \dot{\psi}_{des}) \tag{12}$
横向速度误差为：
$\dot{e}_1 = \dot{y} + v_x({\psi} - {\psi}_{des}) \tag{13}$
航向误差：
$e_2 = \psi - \psi_{des} \tag{14}$
可得误差动力学模型为：
$\frac{d}{dt} \left[\begin{matrix} e_1 \\ \dot{e}_1 \\ e_2 \\ \dot{e}_2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{2C_{\alpha,f} + 2C_{\alpha,r}}{m v_x} & \frac{2C_{\alpha,f} + 2C_{\alpha,r}}{m} & \frac{-2C_{\alpha,f}l_f + 2C_{\alpha,r}l_r}{m v_x} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -\frac{2C_{\alpha,f}l_f-2C_{\alpha,r}l_r}{I_z v_x} & \frac{2C_{\alpha,f}l_f-2C_{\alpha,r}l_r}{I_z} & -\frac{2C_{\alpha,f}l_f^2+2C_{\alpha,r}l_r^2}{I_z v_x}\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} e_1 \\ \dot{e}_1 \\ e_2 \\ \dot{e}_2 \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix} 0 \\ \frac{2C_{\alpha,f}}{m} \\ 0 \\ \frac{2l_fC_{\alpha,f}}{I_z} \end{matrix}\right] \delta + \left[\begin{matrix} 0 \\ \frac{-2C_{\alpha,f}l_f + 2C_{\alpha,r}l_r}{m v_x} -v_x \\ 0 \\ -\frac{2C_{\alpha,f}l_f^2+2C_{\alpha,r}l_r^2}{I_z v_x} \end{matrix}\right] \dot{\psi}_{des} \tag{15}$