Control-车辆动力学模型

动力学主要研究作用于物体的力与物体运动的关系，车辆动力学模型一般用于分析车辆的平顺性和车辆操纵性的稳定性。对于车辆动力学，主要是研究车辆轮胎及相关部件的受力情况。比如纵向速度控制通过控制轮胎转速实现，横向航向控制通过控制轮胎转角实现。

正常情况下，车辆上的作用力沿着三个不同的轴分布：

• $x$轴上的力：驱动力、制动力、滚动阻力和拖曳阻力。车辆绕$x$轴做滚动运动；
• $y$轴上的力：转向力、离心力和侧风力。车辆绕$y$轴做俯仰运动；
• $z$轴上的力：地面支持力、风压力。车辆绕$z$轴做横摆运动；

在单车模型假设的前提下，做以下假设：

• 只考虑纯侧偏轮胎特性，忽略轮胎力的横纵向耦合关系；
• 不考虑载荷转移；
• 忽略横纵向空气动力学。
  

如图所示，单车模型具有两个自由度：绕$z$轴的横摆运动和沿$x$轴的纵向运动。轮胎滑移角是轮胎方向和轮胎速度方向的夹角，产生原因主要是由于轮胎所受合力并非朝向车轮行进的方向，但车轮的偏移角通常较小。

根据牛顿第二定律，分别沿$x$轴、$y$轴、$z$轴做受力分析：

在$x$轴：
$$m{a}_x=F_{x,f}+F_{x,r}\text{\hspace{1em}(1)}$$
在$y$轴：
$$m{a}_y=F_{y,f}+F_{y,r}\text{\hspace{1em}(2)}$$
在$z$轴：
$$I_z\ddot{\psi }=a{F}_{y,f}-b{F}_{y,r}\text{\hspace{1em}(3)}$$

车辆在$y$轴的加速度$a_y$由两部分构成：$y$轴的位移相关的加速度$\ddot{y}$和向心加速度$v_x\dot{\psi }$：
$$a_y=\ddot{y}+v_x\dot{\psi }\text{\hspace{1em}(4)}$$
则公式(2)转变为：
$$m(\ddot{y}+v_x\dot{\psi })=F_{y,f}+F_{y,r}\text{\hspace{1em}(5)}$$
由于轮胎受到横向压力，会有一个很小的滑移角，如下图所示：

前后轮滑移角：
$$\{\begin{array}{l}{\alpha }_f=\delta -{\theta }_{v,f}\\ {\alpha }_r=-{\theta }_{v,r}\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
其中，${\theta }_{v,f}$为前轮速度方向，$\delta$为前轮转角，${\theta }_{v,r}$为后轮速度方向，后轮转角为$0$。

前后轮所受横向力为：
{ Fy,f=2Cα,fαf=2Cα,f(δ−θv,f)Fy,r=2Cα,rαr=2Cα,r(−θv,r)(7) \begin{cases} F_{y,f} = 2 C_{\alpha,f}\alpha_f = 2 C_{\alpha,f}(\delta - \theta_{v,f}) \\ F_{y,r} = 2 C_{\alpha,r} \alpha_r = 2 C_{\alpha,r} (- \theta_{v,r}) \end{cases} \tag{7} { Fy,f​=2Cα,f​αf​=2Cα,f​(δ−θv,f​)Fy,r​=2Cα,r​αr​=2C