动态规划合集

这篇博客汇总了多个动态规划相关的问题,包括寻找子序列和、最优植树方案、股票买卖最佳时机、波动数列计数以及房屋染色等实际应用场景。通过这些实例,深入探讨动态规划的解决策略和技巧。

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  • 子序列的和
    题目:有一个正整数 N 和一个序列 {1,2,3,…,N },问有多少个子序列的和恰为 N。

输入:
若干行,每行一个整数,第 i 行为 Ni, Ni 与题中 N 的含义一致
1 ≤ Ni ≤ 100
当i ≠ j 时,Ni ≠ Nj

输出:
若干行,每行一个整数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=105;
int dp[N][N];//dp[i][j]表示从1到i中子序列的和恰好为j的数量
int n;
int main()
{
   
   
    dp[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
   
   
        dp[i][1]=1;
        dp[1][i]=0;
        for(int j=2;j<=N;j++){
     
     
            if(j>(1+i)*i/2) dp[i][j]=0;
            else if(j>i) dp[i][j]=dp[i-1][j-i]+dp[i-1][j];
            else dp[i][j]=dp[j-1][j]+1;
        }
    }
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
   
   
        printf("%d\n",dp[n][n]);
    }
    return 0;
}
  • 三棵树
    题目:A城市有一条长直街道,为了绿化环境和净化空气,市政府决定沿着街道种植一排树。园林部门得到指令后,初步规划出 n(n ≥ 5)个种树的位置,编号1到n。
    并且每个位置都有一个美观度 Ai,如果在这里种树就可以得到这 Ai 的美观度。
    但由于 A 城市土壤肥力欠佳,两棵树决不能种在相邻的位置( i 号位置和 i+1 号位置叫相邻位置)。
    最终市政府给园林部门提供了 3 棵树苗并要求全部种上,请你帮忙设计种树方案使得美观度总和最大。

输入
包含多个测试实例,对于每个测试实例
占一行,第一个数是整数n,接下去为n个整数 Ai
测试实例数量不超过 10 个

输出
每个测试实例一行一个整数,表示最佳的植树方案可以得到的美观度

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=105,inf=0xc0c0c0c0;//美观度可能为负数,所以初始化为负无穷
int dp[N][4];//dp[i][j]表示第i个位置上种了j棵树的美观度
//dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-2][j-1]+a[i])
int n,a[N];
int main()
{
   
   
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
   
   
        memset(dp,inf,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++){
   
   
            cin>>a[i];
            dp[i][0]=0;
        }
        dp[0][0]=0;
        dp[1][1]=a[1];
        for(int i=2;i<=n;i++){
   
   
            for(int j=1;j<=3;j++){
   
   
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-2][j-1]+a[i]);
            }
        }
        printf("%d\n",dp[n][3]);
    }
    return 0;
}
  • 买股票的最佳时机1
    题目:长度 N 的整数序列 { Pi } 是一只股票在一个有 N 个交易日的时间段内的价格(Pi 是第 i 天的价格)。若在此期间最多只允许买卖各 1 次,问获利最大是多少?
    规则: 初始时刻不持有股票,每次交易只能买或卖 1 股

输入
第一行一个整数 N,表示有 N 个交易日
第二行 N 个整数 Pi,表示 N 天的股票价格

输出
一行一个整数,表示最大利润

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int p[N],dp[N],p2[N];
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