（CV，Math）仿射几何

最新推荐文章于 2025-02-20 22:37:31 发布

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分类专栏： CV Math 文章标签：仿射变换

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本文简单介绍了仿射变换，主要从仿射变换的矩阵表示方面理解。

1 仿射变换矩阵表示

以二维坐标为例讲述仿射变换。变换前坐标为 $(x,y)$ ，变换后坐标为 $(x',y')$ ，本文均使用齐次坐标系，齐次坐标见《射影变换》。

二维仿射变换保持了图像的“平直性”（即变换后直线还是直线）和“平行性”（平行线还是平行线）。仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括：平移（Translation）、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切（Shear）。其中平移与旋转为刚体变换，平移、旋转与缩放为相似变换。

仿射变换用等式表示如下：

{x' = a x + c y + t x y' = b x + d y + t y

$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x'=ax+cy+tx\\ y'=bx+dy+ty \end{aligned} \right. \end{equation}$

用矩阵表示如下：

⎛ ⎝ ⎜ x' y' 1 ⎞ ⎠ ⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ a d 0 c b 0 t x t y 1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ x y 1 ⎞ ⎠ ⎟

$\left( \begin{array}{c} x' \\ y' \\ 1 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} a & c & tx \\ d & b & ty \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ 1 \end{array} \right)$

1.1 平移Translation

$(x,y)$ 平移后坐标为 $(x+tx,y+ty)$ ，变换矩阵为

⎛ ⎝ ⎜ 100010 t x t y 1 ⎞ ⎠ ⎟

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & tx \\ 0 & 1 & ty \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

1.2 缩放Scale

$(x,y)$ 缩放后坐标为 $(ax,dy)$ ，变换矩阵为

⎛ ⎝ ⎜ s x 00 0 s y 0 001 ⎞ ⎠ ⎟

$\left( \begin{array}{ccc} sx & 0 & 0 \\ 0 & sy & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

1.3 翻转Flip

$(x,y)$ 翻转后坐标为 $(-x,y)$ 或 $(x,-y)$ ，变换矩阵为

⎛ ⎝ ⎜ - 1 00 010001 ⎞ ⎠ ⎟ 或 ⎛ ⎝ ⎜ 100 0 - 1 0 001 ⎞ ⎠ ⎟

$\left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)或 \left( \begin{array}{ccc} 1& 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

1.4 旋转Rotation

$(x,y)$ 旋转后坐标为 $(xcos\theta -ysin\theta,ycos\theta+xsin\theta)$ ，变换矩阵为

⎛ ⎝ ⎜ c o s θ s i n θ 0 - s i n θ c o s θ 0 001 ⎞ ⎠ ⎟

$\left( \begin{array}{ccc} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x = r c o s α y = r s i n α x' = r c o s (α + θ) = r c o s α c o s θ - r s i n α s i n θ = x c o s θ - y s i n θ y' = r s i n (α + θ) = r s i n α c o s θ + r c o s α s i n θ = y c o s θ + x s i n θ

$\begin{equation} \left \{ \begin{aligned} & x=rcos\alpha \\ & y=rsin\alpha \\ & x'=rcos(\alpha+\theta)=rcos\alpha cos\theta-rsin\alpha sin\theta =xcos\theta -ysin\theta \\ & y'=rsin(\alpha+\theta)=rsin\alpha cos\theta+rcos\alpha sin\theta=ycos\theta+xsin\theta \end{aligned} \right. \end{equation}$

注，若围绕某点 $(x_0,y_0)$ 旋转，则可以理解为坐标系平移 $(x_0,y_0)$ 后再进行旋转，即对 $(x-x_0,y-y_0)$ 旋转后得到 $(x'-x_0,y'-y_0)$

1.5 剪切Shear

$(x,y)$ 剪切后坐标为 $(x+cy,y+bx)$ ，变换矩阵为

⎛ ⎝ ⎜ 1 s h y 0 s h x 10 001 ⎞ ⎠ ⎟

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & shx & 0 \\ shy & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$
也相当于水平剪切和垂直剪切的符合：

⎛ ⎝ ⎜ 1 s h y' 0 010001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ 100 s h x' 10 001 ⎞ ⎠ ⎟

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ shy' & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & shx' & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$
水平、垂直剪切如下图

1.6 刚体变换

由上可知，刚体变换包括平移和旋转，所以变换矩阵可以表示为，其中 $R$ 为3*3的正交旋转矩阵

(R 0 T t 1)

$\left( \begin{array}{cc} R & t \\ 0^T & 1 \end{array} \right)$

1.7 总结

从以上可以看出，若某物质或信息具有仿射不变性，则也具备尺度不变性（Scale invariant)

2 仿射几何

这部分描述的仿射几何的一些重要的数学概念。

2.1 平行射影

又称透视仿射，是射影几何的概念，由此可知仿射变换是射影变换的一种特例。

平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的。比如，由连续施行平面 $\pi$ 到 $\pi1$ ， $\pi1$ 到 $\pi2$ ， $\pi2$ 到 $\pi3$ ，再从 $\pi3$ 回到 $\pi'$ 的共四次平行投影得到的平面 $\pi$ 上点之间的对应，例如 $A，B，C$ 的对应点为 $A′，B′，C′$ ，这个对应就是平面π上的一个仿射变换。