28、环与眼杆的应力分析与设计

环与眼杆的应力分析与设计

在结构和机械中，环、连接链节、链条和眼杆等是常见的闭合、多连通结构部件。尽管它们的几何形状看似简单，但由于静不定性，对这些部件的分析十分复杂，即便使用应变能方法也既繁琐又困难。在很多情况下，通过忽略与弯曲应力相比的直接应力和剪应力，可以简化分析过程。

1. 厚环理论

厚环在工程中应用广泛，例如在承受径向载荷时，其应力和变形分析具有重要意义。

当一个厚环沿其垂直直径受到载荷 $P$ 压缩时（如图 1 所示），为了评估由于载荷 $P$ 引起的水平直径变化，引入了一个虚拟力 $H$。

图 1：厚环在径向压缩

由于对称性，我们可以只关注环的四分之一部分。通过平衡考虑，可以得到以下关系：
- 弯矩 $M$：$M = \frac{PR(1 - \cos u)}{2} + \frac{HR \sin u}{2} - M_f$
- 法向力 $N$：$N = \frac{H \sin u}{2} - \frac{P \cos u}{2}$
- 剪力 $Q$：$Q = \frac{P \sin u}{2} + \frac{H \cos u}{2}$

利用卡氏定理，可以确定静不定的固定弯矩 $M_f$：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (M - Nd) \frac{\partial M}{\partial M_f} du = 0$

其中 $d$ 是中性轴的位移。通过代入和积分，可以得到 $M_f$ 的表达式：
$M_f = \frac{P(