codeforce Round #404 D(数学,思路,范德蒙恒等式)

子串匹配算法解析

最新推荐文章于 2022-12-16 16:19:21 发布

mosquito_zm

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分类专栏：思维的体操数学 acm 中等难度文章标签： codeforces 数学 ACM

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本文介绍了一种利用组合数学原理解决特定子串匹配问题的方法。该算法能够在O(n)的时间复杂度内找到字符串中所有满足特定条件的子串数量，其中子串长度必须为偶数且分为前后两半，前半部分包含左括号，后半部分包含右括号，子串不必连续。文章详细介绍了使用范德蒙不等式的解题思路，并提供了完整的C++代码实现。

题目链接

题意：
问你一共有多少个子串，满足下列条件：
①长度为偶数
②前一半是（
③后一半是）
④子串不必要连续。

题解：我们O（n）枚举分界线，那么对应左侧有n个(，右边有m个)
则答案为C（i，n）*C(i,m)。

而由范德蒙不等式可得结果。

PS：求组合数时可以先将所有阶乘都预处理出来，在直接求即可

代码如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const ll maxn = 2e5 + 10;
const ll MOD = 1e9 + 7;
char s[maxn];
ll fac[maxn];
ll q_pow(ll x, ll k){
	if(k == 0) return 1;
	if(k == 1) return x;
	ll temp = q_pow(x,k/2);
	ll ans = temp * temp % MOD;
	if(k % 2) ans = ans * x % MOD;
	return ans;
}
ll rev(ll x){
	return q_pow(x,MOD - 2);
}
ll C(ll k, ll n){
	ll ans = 1;
	ans = fac[n];
	ans = ans * rev(fac[k]) % MOD;
	ans = ans * rev(fac[n - k]) % MOD;
	return ans;
}
int main()
{
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1;i <= maxn - 10;i++)  fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
	ll cntl = 0,cntr = 0;
	scanf("%s",s);
	ll len = strlen(s),ans = 0;
	for(ll i = 0;i < len;i++) if(s[i] == ')')  cntr++;
	for(ll i = 0;i < len;i++){
		if(s[i] == '(') {
			ans = (C(cntr - 1,cntl + cntr) + ans) % MOD;
			cntl++;
		}
		else if(s[i] == ')') cntr--;
	}
	printf("%I64d\n",ans % MOD);
	return 0;
}