我前面写过单源点的最短路径dijkstra和SPFA算法,但是如果要求多对点之间的最短路径,那我们就需要循环n次调用dijkstra算法,其算法复杂度为O(n^3)。而对于这种多个点之间的最短路径,我们还有另一种算法:Floyd弗洛伊德算法,它的算法复杂度也为O(n^3),但是它的代码量比dijkstra简单了不少。
算法过程:
1、从任意一条单边路径开始,所有两点之间的距离是边的权,或者是无穷大。
2、对于每一对顶点u和v,看看是否存在一个顶点w使得u->w的距离+w->v的距离小于u->v的距离,如果存在,更新它。
核心代码:
void Floyd (int n)
{
for (int k = 1; k <= n; k++)
{
for (int i = 1; i <= n; i ++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
if(cost[i][k] > 0 && cost[k][j] > 0 &&
(cost[i][j] > cost[i][k] + cost[k][j] + tax[k] || cost[i][j] == -1))
{
cost[i][j] = cost[i][k] + cost[k][j] + tax[k];
}
}
}
}
}
写出这个代码很容易,但是要理解很难。
如果要记录路径,我们有两种记录方法:
定义int path[a][b] ;
path[a][b] = a;表示从a可以直接到b
path[a][b] = c;表示a要经过c才能到b,通过调用path[a][c]就可以得知a到c的路径
另一种就是
path[a][b] = b;表示从a可以直接到b
path[a][b] = c;表示a要经过c才能到b,通过调用path[c][b]就可以得知c到b的路径
应该按题目意思选择适当的方法。
下面就是HDOJ-1385的代码:
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 1000 + 50;
int cost[MAXN][MAXN];
int tax[MAXN];
int way[MAXN][MAXN];
void init (int n)
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
way[i][j] = j;
}
}
}
void Floyd (int n)
{
for (int k = 1; k <= n; k++)
{
for (int i = 1; i <= n; i ++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
if(cost[i][k] > 0 && cost[k][j] > 0 &&
(cost[i][j] > cost[i][k] + cost[k][j] + tax[k] || cost[i][j] == -1))
{
cost[i][j] = cost[i][k] + cost[k][j] + tax[k];
way[i][j] = way[i][k]; //记录路径
}
else if (cost[i][k] > 0 && cost[k][j] > 0 &&
cost[i][j] == cost[i][k] + cost[k][j] + tax[k]) //长度相同
{
if (way[i][j] > way[i][k]) //选择字典序小的
{
way[i][j] = way[i][k];
}
}
}
}
}
}
int main()
{
int n;
while (scanf("%d",&n) !=EOF && n)
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
scanf("%d",&cost[i][j]);
}
}
for (int k = 1; k <= n; k++ )
{
scanf("%d",&tax[k]);
}
init(n);
Floyd(n);
int star,end;
int a,b;
while (1)
{
scanf("%d%d",&star,&end);
if (star == -1 && end == -1)
{
break;
}
printf("From %d to %d :\n",star,end);
a = star;b = end;
printf("Path: %d",star);
if (star != end)
{
while (way[a][b] != b)
{
a = way[a][b];
printf("-->%d",a);
}
printf("-->%d",b);
}
printf("\n");
printf("Total cost : %d\n",cost[star][end]);
printf("\n");
}
}
}