[USACO 1.5.3]特殊的质数肋骨

本文介绍了一个用于生成特定长度的素数的算法实现。通过递归方式构造满足条件的素数,并详细展示了如何通过排除法检查一个数是否为素数。

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#include <stdio.h>
#include <math.h>
int ff(long long x)
{
	long long i;
	if (x==1) return 0; 
	for (i=2;i<=sqrt(x);i++)
		if (x % i==0) return 0;
	return 1; 
}
int a[10];
void f(long long s,int n)
{
	if (n==0) 
	{
		printf("%lld\n",s);
		return;
	}
	for (int i=0;i<=5;i++)
	{
		s=s*10+a[i];
		if (ff(s)) 
			f(s,n-1);
		s/=10;
	}
}
int main()
{
	int n;
	a[0]=2;
	for (int i=1;i<=5;i++)
		a[i]=i*2-1;
	while (~scanf("%d",&n))
	{
		f(0,n);
	}
	return 0;
} 


 

### 特殊质数肋骨(Superprime Rib)算法实现方法 特殊质数肋骨问题要求找到长度为 $ N $ 的质数,使得从左到右逐步截断后,每一部分都为质数。例如,7331 是一个长度为 4 的特殊质数肋骨,因为 7、73、733 和 7331 都是质数。 #### 算法思路 该问题可以通过深度优先搜索(DFS)结合剪枝策略来高效求解。核心思想是递归构建数字,每一步都确保当前生成的数字是质数,并逐步扩展到目标长度。 #### 关键实现步骤 1. **递归构建数字**:从个位数开始(1-9),逐步扩展数字的位数。 2. **质数判断**:每一步生成新数字时都判断是否为质数3. **终止条件**:当数字的位数达到 $ N $ 时,将其作为结果输出。 #### 代码实现(C++) 以下是一个高效的实现示例,基于 DFS 和质数判断: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int n; // 质数判断函数 bool isPrime(int num) { if (num < 2) return false; for (int i = 2; i <= sqrt(num); i++) { if (num % i == 0) return false; } return true; } // 深度优先搜索函数 void dfs(int depth, int current) { if (depth == n) { cout << current << endl; return; } for (int i = 1; i <= 9; i++) { int next = current * 10 + i; if (isPrime(next)) { dfs(depth + 1, next); } } } int main() { cin >> n; // 初始只考虑一位数的质数(2, 3, 5, 7) for (int i = 2; i <= 9; i++) { if (isPrime(i)) { dfs(1, i); } } return 0; } ``` #### 代码说明 - **isPrime 函数**:用于判断一个数是否为质数。对于较小的数效率较高。 - **dfs 函数**:递归函数,用于构建特殊质数肋骨。每一步都尝试扩展一位数,并判断新生成的数是否为质数。 - **主函数**:读取输入的 $ N $,并从一位数的质数开始递归构建。 #### 时间复杂度分析 - 由于每次递归调用都会尝试扩展一位数,并且需要进行质数判断,时间复杂度主要取决于质数的分布情况。 - 最坏情况下,复杂度约为 $ O(9^N) $,但由于质数的限制,实际运行效率较高。 #### 优化建议 - 可以预先生成小范围内的质数表,减少重复的质数判断。 - 对于较大的 $ N $,可以结合埃拉托斯特尼筛法(Sieve of Eratosthenes)生成质数集合。 #### 相关问题 - 如何优化特殊质数肋骨问题的质数判断过程? - Superprime Rib 问题是否可以用广度优先搜索(BFS)实现? - 如果将数字范围扩展到超过 9 位数,该算法是否仍然适用? - 是否可以使用动态规划(DP)解决 Superprime Rib 问题? - 如何将该算法转换为 Python 或 Java 实现?
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