UVa 10680 - LCM

最新推荐文章于 2021-02-25 18:30:10 发布

小白菜又菜

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分类专栏：解题报告数论

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数论

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本文介绍了一种求解前n个数的最小公倍数（LCM）的最后非零位的方法。通过数论分析，采用素数筛法预先计算素数，并统计每个素数的最高次幂不超过n的情况，去除2和5的共同因子后，计算剩余因子的乘积取尾数。

题目：求解前n个数的LCM的最后的非零位。

分析：数论。将前n个数的LCM因式分解，然后依次相乘取尾数。

将前n个数的LCM = 2^k1 * 3^k2 * ...*pn^kn，其中pn位第n个素数，且pn^kn ≤ n；

首先打表计算素数，然后利用素数去求对应的kn；

求最后的非零位，去掉5和2的公共个数即可（5不多于2）；

最后将剩余的因子相乘取尾数即可；

说明：除2和5之外的其他素数尾数是1、3、5、7、9都是以4为周期的，可以简化运算。

#include <stdio.h>
#include <string.h>

int visit[1000001];
int prime[1000001];
int size[1000001];

int main()
{
	int prime_count = 0;
	for (int i = 2; i < 1000001; ++ i) {
		if (!visit[i]) {
			prime[prime_count ++] = i;
			for (int j = i+i; j < 1000001; j = j+i) {
				visit[j] = 1;
			}
		}
	}
    int n;
    while (~scanf("%d",&n) && n) {
		memset(size, 0, sizeof(size));
		for (int i = 0; i < prime_count && prime[i] <= n; ++ i) {
			long long now = prime[i]+0LL, bound = n+0LL;
			size[i] = 0;
			while (now <= bound) {
				now *= prime[i];
				size[i] ++;
			}
		}
		
		size[0] -= size[2];
		size[2] -= size[2];
		
		int ans = 1;
		for (int i = 0; i < prime_count && prime[i] <= n; ++ i) {
			if (i != 0 && i != 2) {
				size[i] %= 4;
			}
			for (int j = size[i]; j >= 1; -- j) {
				ans = (ans*prime[i])%10;
			}
		}
		
		printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}