14、电路优化中的优化方法详解

电路优化中的优化方法详解

1. 最小二乘法问题

在电路优化里，目标函数常被方便地表示为一系列平方和的形式。比如式(5.5)，这里的 (m) 规定了性能特征 (G_0(\omega_i))，对应的实现值 (a(x,\omega)) 需要与之匹配。为了简化讨论，设 (w_i = 1.0)，(i = 1, 2, \cdots, m)，那么式(5.5)可组合为：
[U(x) = [f(x)]^T f(x)]
其中
[f(x) =
\begin{bmatrix}
f_1(x) \
f_2(x) \
\vdots \
f_m(x)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
G(x,\omega_1) - G_0(\omega_1) \
G(x,\omega_2) - G_0(\omega_2) \
\vdots \
G(x,\omega_m) - G_0(\omega_m)
\end{bmatrix}]

将式(5.74)中的 (U(x)) 降为零，能确保对于所有的 (i) 都有 (G(x,\omega_i) = G_0(\omega_i))。该方法由高斯在 1809 年基于牛顿法提出，用于求解非线性方程组。由于它利用了平方和目标函数的特殊形式，最小二乘法也被称作高斯 - 牛顿法。对式(5.74)求导可得：
[g(x) = \nabla U(x) = 2[J(x)]^T f(x)]
这里的 (J(x)) 是 (m\times n) 的雅可比矩阵：
[J(x)=
\begin{bmatrix} <