【每日一题】codeforces 448C (分治)

每日一题，坚持使我强大

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今日份快乐：codeforces 448C 传送门
明天份快乐：codeforces 1358D 传送门

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题目大意

有 n 块紧挨的栅栏，每块栅栏的高度为 a[i], 宽度为 1。现用一个宽度为 1 的刷子，给这 n 块栅栏刷漆。可以横着刷，也可以竖着刷，可以重复刷，但必须刷在栅栏上。
问：最少要刷多少次。

分析

这个题用分治法解决，先来简单的说一下分治。

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分治，字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。在计算机科学中，分治法就是运用分治思想的一种很重要的算法。分治法是很多高效算法的基础，如排序算法（快速排序，归并排序），傅立叶变换（快速傅立叶变换）等等。
这段话来自百度百科，详细解释看这里：传送门

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这个题显然，我们如果选择横着刷，我们肯定会先刷到最矮的那块栅栏处，而这时，就会出现断层(如下图)，要刷满断层的两侧显然是两个相互独立的子问题，对这两个相互独立的子问题进行刚刚相同的操作，拿肯定会得到更多的子问题，直到一个区间中没有栅栏的时候。

我们定义一个函数 solve(int l, int r, int h)，这个函数的作用是，返回刷满从高度 h 开始，从第 l 块栅栏到第 r 块栅栏之间的最少粉刷次数。
函数递归很简单，就是以区间的最小值为界限分成两个新的区间。递归的出口也很简单就是 l > r 时就不用再递归了，这时区间内已经没有了栅栏，说明栅栏已经刷满。下面是函数功能的实现：
对于一个区间，要么全部竖着刷，要么横竖交替的刷，统计这两者的次数，取最小值便好。
全部竖着刷的次数：统计区间内大于 h 的栅栏的个数 sum，这都是要竖着刷的。
横竖交替的刷的次数：如上图，先横着刷 a[ind] - h 次(这个 a[ind] 便是区间内的最小值)，再递归 solve(l, ind - 1, a[ind]) 和 solve(ind + 1, r, a[ind]) 去刷满剩下的区间。总次数 res = a[ind] - h + solve(l, ind - 1, a[ind]) + solve(ind + 1, r, a[ind])。
最终的结果 ans = min(sum, res)。
分解子问题的过程是 ’ 分 '，解决子问题的过程是 ’ 治 '。由原问题到子问题，再回归到原问题的整个过程便是 ’ 分治 '。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const ll INF = 2e9;
int a[5005]; 

int solve(int l, int r, int h){
	if(l > r) return 0;
	
	int minn = INF, ind = -1;	// 初始化
	int sum = 0;			// 纪录竖着刷的次数
	for(int i = l; i <= r; i++){
		if(a[i] < minn) minn = a[i], ind = i;	// 找到这个区间中的最小值，为下一次分区做准备 
		if(a[i] > h) sum++;			// 如果这个栅栏的高度大于 h 就可以竖着刷
	}
	
	int num = minn - h;		// 计算横着刷的次数 
	int next_h = minn;
	int res_l = solve(l, ind - 1, next_h);
	int res_r = solve(ind + 1, r, next_h):		// num + res_l + res_r 就是横竖交替刷的次数
	int res = min(sum, res_l + res_r + num);	// 比较是全部竖着刷的次数少还是横竖交互刷的次数少 
	
	return res;
}

int main() {

	ios::sync_with_stdio(false);
	
	int n;
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
	
	int res = solve(1, n, 0);
	
	cout << res << endl;
    return 0;
    
}

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