洛谷-2522 [HAOI2011]Problem b

最新推荐文章于 2024-05-02 13:48:13 发布

mkopvec

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分类专栏：算法题

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/mkopvec/article/details/98065472

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该博客介绍了洛谷上的一道竞赛题目，涉及计算在一定范围内满足最大公约数为特定值的数对(x, y)数量的问题。通过输入n个询问，给出a, b, c, d, k这五个整数，计算并输出符合条件的数对个数。样例输入和输出展示了计算方法，并给出了公式解释，强调了分块计算前缀和的优化策略。" 138578160,1204945,Java使用EasyExcel进行Excel导入与数据验证,"['Java开发', 'Excel处理', '数据校验', 'SpringBoot应用', '后端框架']

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题目描述
对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。
输入格式
第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k
输出格式
共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数

输入输出样例
输入 #1
2
2 5 1 5 1
1 5 1 5 2

输出 #1
14
3

说明/提示
100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000

解释： $cal(b,d)=∑i=1b∑j=1d[gcd(i,j)==k]=∑i=1b∑j=1d∑d∣gcd(i,j)u(d)=∑d=1min(n,m)u(d)∗⌊bk⌋∗⌊dk⌋cal(b,d)=\sum_{i=1}^b\sum_{j=1}^d[gcd(i,j)==k]=\sum_{i=1}^b\sum_{j=1}^d\sum_{d|gcd(i,j)}u(d)=\sum_{d=1}^{min(n,m)}u(d)*\lfloor \frac{b}{k}\rfloor *\lfloor \frac{d}{k} \rfloor$
$a n s = c a l (b, d) - c a l (a - 1, d) - c a l (b, c - 1) + c a l (a - 1, c - 1)$ 分块计算前缀和就OK

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=60000;
ll p[N],T;
int v[N+10];
ll mu[N+10];
inline void init(){
    v[1]=mu[1]=1;
    int cnt=0;
    for(int i=2;i<N;++i) {
        if (!v[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<N;++j){
            v[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]) mu[i*p[j]]=-mu[i];
            else{mu[i*p[j]]=0;break;}
        }
    }
    for (int i=1;i<N;++i) mu[i]+=mu[i-1];
}
ll cal(ll n,ll m){
    ll ans = 0;ll r;
    for(ll i=1;i<=min(n,m);i=r+1){
        r = min(n/(n/i), m/(m/i));
        ans += (mu[r]-mu[i-1])*(n/i) *(m/i);
    }
    return ans;
}
ll ceil(ll a,ll b){
    if(a%b) return a/b;
    else return a/b-1;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>T;
    init();
    for(ll i=1;i<=T;i++){
        ll a,b,c,d,k;
        cin>>a>>b>>c>>d>>k;
        ll ret=cal(b/k,d/k)-cal(b/k,ceil(c,k))+cal(ceil(a,k),ceil(c,k))-cal(ceil(a,k),d/k);
        cout<<ret<<endl;
    }
}