洛谷2522 【HAOI2011】Problem b（容斥+莫比乌斯反演）

最新推荐文章于 2021-08-21 19:35:27 发布

原创最新推荐文章于 2021-08-21 19:35:27 发布 · 304 阅读

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本文深入解析了一道数论问题的解题思路，利用莫比乌斯反演和整除分块技术优化算法，解决了原问题中涉及到的复杂数学运算，提供了一个高效求解方案。

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【题目分析】

开始码数论题了qwq

题目要求求的式子：

$\sum_{a\leq i\leq b}\sum_{c\leq j\leq d} [gcd(i,j)=k]$

显然循环枚举有个小剪枝：i,j一定是k的倍数。然而肯定还是过不了。

考虑容斥一下，

$ans=\sum_{1\leq i\leq a-1}\sum_{1\leq j\leq c-1} [gcd(i,j)=k]+\sum_{1\leq i\leq b}\sum_{1\leq j\leq d} [gcd(i,j)=k]-\sum_{1\leq i\leq a-1}\sum_{1\leq j\leq d} [gcd(i,j)=k]-\sum_{1\leq i\leq b}\sum_{1\leq j\leq c-1} [gcd(i,j)=k]$

所以我们现在相当于要求这个式子：

$\sum_{1\leq i\leq n}\sum_{1\leq j\leq m} [gcd(i,j)=k]$

然而这个操作还是有点窒息，考虑到gcd(i,j)=k，所以i=k*x，j=k*y，gcd(x,y)=1，所以直接除个k，要求的就是这个式子：

$\sum_{1\leq i\leq [\frac{n}{k}]}\sum_{1\leq j\leq [\frac{m}{k}]} [gcd(i,j)=1]$

看到[n/k]这种形式和gcd(i,j)=1，考虑上整除分块+莫比乌斯反演，定义两个函数：

$f(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m [gcd(i,j)=d]$

$F(d)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[d\mid gcd(i,j)]$

所以我们要求的就是f(1)。

通过两个式子可以发现：

$F(n)=\sum_{n\mid d}f(d)$

反演一下得到：

$f(n)=\sum_{n\mid d}\mu{(\frac{n}{d})}F(d)$

发现F(d)可以进一步化简：

$F(d)=[\frac{n}{d}]*[\frac{m}{d}]$

所以得到最终结论：

$f(1)=\sum_{i=1}^{min(n,m)} [\frac{n}{i}]*[\frac{m}{i}]*\mu(i)$

有了上面这个式子就可以直接上整除分块求解了，记一个mu的前缀和方便查询。

【代码~】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=5e4+10;

int n;
int a,b,c,d,k;
int mu[MAXN],prime[MAXN],vis[MAXN],tot;
int Read(){
	int i=0,f=1;
	char c;
	for(c=getchar();(c>'9'||c<'0')&&c!='-';c=getchar());
	if(c=='-')
	  f=-1,c=getchar();
	for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())
	  i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
	return i*f;
}

void pre(){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=5e4;++i){
		if(!vis[i]){
			prime[++tot]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=5e4;++j){
			vis[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			  break;
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
		mu[i]+=mu[i-1];
	}
}

int calc(int x,int y){
	int ret=0,up=min(x,y),sx;
	for(int i=1;i<=up;i=sx+1){
		sx=min((x/(x/i)),(y/(y/i)));
		ret+=(mu[sx]-mu[i-1])*(x/i)*(y/i);
	}
	return ret;
}

int main(){
	int n=Read();
	pre();
	for(int i=1;i<=n;++i){
		a=Read(),b=Read(),c=Read(),d=Read(),k=Read();
		a=(a-1)/k,b/=k,c=(c-1)/k,d/=k;
		cout<<calc(a,c)+calc(b,d)-calc(b,c)-calc(a,d)<<'\n';
	}
	return 0;
}