《统计学习方法》（第十章）——隐马尔科夫模型

隐马尔科夫模型的基本概念

隐马尔科夫模型的定义

  关于时间序列得模型，描述由一个隐藏得马尔可夫链随机生成不可观测得状态随机序列，再由状态生成一个观测从而产生观测随机序列得过程。隐藏得马尔可夫链随机生成得状态序列，称为状态序列；每个状态生成一个观测，而由此产生的观测随机序列，称为观测序列。序列的每个位置又可以看作是一个时刻
Q={q1,q2,..qN},V={v1,v2,..,vM}Q=\{q_1,q_2,..q_N\},V=\{v_1,v_2,..,v_M\}Q={q1​,q2​,..qN​},V={v1​,v2​,..,vM​}
其中$Q$为所有可能的状态集合，$V$是所有的观测集合
I={i1,i2,...,iN},O={o1,o2,...,oT}I=\{i_1,i_2,...,i_N\},O=\{o_1,o_2,...,o_T\}I={i1​,i2​,...,iN​},O={o1​,o2​,...,oT​}
$I$是状态序列，$O$是观测序列
转移矩阵
$$A=[a_{ij}{]}_{N\times N}$$
$$a_{ij}=P(i_{t+1}=q_j|i_t=q_i)$$
观测矩阵
$$B=[b_j(k){]}_{N\times M}$$
$$b_j(k)=P(o_t=v_k|i_t=q_j)$$
初始状态概率向量
$$\pi =({\pi }_i),{\pi }_i=P(i_1=q_i)$$
因此隐马尔科夫模型
$$\lambda =(A,B,\pi )$$表示
又定义知作了两个假设
$$P(i_t|i_{t-1},o_{t-1},...,i_1,o_1)=P(i_t|i_{t-1})$$
$$P(o_t|i_T,o_T,....,i_1,o_1)=P(o_t|i_t)$$

观测序列的生成

输入：隐马尔可夫模型$\lambda =(A,B,\pi ),$观测序列长度$T$
输出：观测序列$O=(o_1,o_2,...,o_T)$
$(1)$按照初始状态分布$\pi$产生状态$i_1$
$(2)$令$t=1$
$(3)$按照状态$i_t$的观测概率分布$b_{i_t}(k)$生成$o_t$
$(4)$按照状态$i_t$的状态转移概率分布产生$i_{t+1}$
$(5)$$t=t+1$如果$t<T$则$(3)$否则终止

隐马尔科夫模型的3个基本问题

• 概率计算问题
  已知$\lambda =(A,B,\pi ),O=(o_1,o_2,..,o_T)$计算$P(O|\lambda )$
• 学习问题
  已知$O=(o_1,o_2,..,o_T)$,估计$\lambda$使得$P(O|\lambda )$最大
• 预测问题
  已知$\lambda ,O=(o_1,o_2,..,o_T)$求$P(I|O)$

概率计算算法

直接计算法

$$P(I|\lambda )={\pi }_{i_t}{a}_{i_1{i}_2}{a}_{i_2{i}_3}...a_{i_{T-1}{i}_T}$$
$$P(O|I,\lambda )=b_{i_1}(o_1)b_{i_2}(o_2)...b_{i_T}(o_T)$$
$$P(O,I|\lambda )=P(O|I,\lambda )P(I|\lambda )$$
$$={\pi }_{i_1}{b}_{i_1}(o_1){\pi }_{i_2}{b}_{i_2}(o_2)...{\pi }_{i_T}{b}_{i_T}(o_T)$$
$$P(O|\lambda )=\sum _{I}P(O|I,\lambda )P(I|\lambda )$$
但是计算复杂度太高

前向计算法

定义$$a_t(i)=P(o_1,o_2,...,o_t,i_t=q_i|\lambda )$$
算法
输入：隐马尔可夫模型$\lambda$,观测序列$O$
输出：观测序列的概率$P(O|\lambda )$
$(1)$初值
$$a_1(i)={\pi }_i{b}_i(o_1)$$
$(2)$递推
$$a_{t+1}(i)=[\sum _{j=1}^N{a}_t(j)a_{ji}]b_i(o_{t+1})$$
$(3)$终止
$$P(O|\lambda )=\sum _{i=1}^N{a}_T(i)$$

后向计算法

定义$${\beta }_t(i)=P(o_{t+1},o_{t+2},...,o_T|t=q_i,\lambda )$$
算法
输入：隐马尔可夫模型$\lambda$,观测序列$O$
输出：观测序列的概率$P(O|\lambda )$
$(1)$初值
$${\beta }_T(i)=1$$
$(2)$递推
$${\beta }_t(i)=\sum _{j=1}^N{a}_{ij}{b}_j(o_{t+1}){\beta }_{t+1}(j)$$
$(3)$终止
$$P(O|\lambda )=\sum _{i=1}^N{\pi }_i{b}_i(o_1){\beta }_1(i)$$

一些概率与期望值的计算

$1.$给定模型$\lambda$和观测$O$,在时刻$t$处于状态$q_i$的概率
$${\gamma }_t(i)=P(i_t=q_i|O,\lambda )$$
$$=\frac{P(i_t=q_i,O|\lambda )}{P(O|\lambda )}$$
又
$$a_t(i){\beta }_t(i)=P(i_t=q_i,O|\lambda )$$
最终
$${\gamma }_t(i)=\frac{a_t(i){\beta }_t(i)}{\sum _{j=1}^N{a}_t(j){\beta }_t(j)}$$
$2.$给定模型$\lambda ,O$在时刻$t$在,$q_i$且$t+1$在$q_j$处的概率
$${\xi }_t(i,j)=P(i_t=q_i,i_{t+1}=q_j|O,\lambda )$$
$$=\frac{P(i_t=q_i,i_{t+1}=q_j,O|\lambda )}{P(O|\lambda )}=\frac{P(i_t=q_i,i_{t+1}=q_j,O|\lambda )}{\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^{N}P(i_t=q_i,i_{t+1}=q_j,O|\lambda )}$$
$$=\frac{a_t(i)a_{ij}{b}_j(o_{t+1}){\beta }_{t+1}(j)}{\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^{N}P(i_t=q_i,i_{t+1}=q_j,O|\lambda )}$$
$3.$导出

• 在观测$O$下状态$i$出现的期望
  $$\sum _{t=1}^T{\gamma }_t(i)$$
• 在观测$O$下状态$i$转移的期望
  $$\sum _{t=1}^{T-1}{\gamma }_t(i)$$
• 在观测$O$下状态$i$转移到$j$的期望
  $$\sum _{t=1}^{T-1}{\xi }_t(i,j)$$

学习算法

监督学习方法

假设已经给出{(O1,I1),(O2,I2),...,(OS,IS)}\{(O_1,I_1),(O_2,I_2),...,(O_S,I_S)\}{(O1​,I1​),(O2​,I2​),...,(OS​,IS​)},我们利用极大似然估计来求
$1.$转移矩阵$a_{ij}$
$$a_{ij}=\frac{A_{ij}}{\sum _{j=1}^N{A}_{ij}}$$
其中$A_{ij}$为$i$到$j$的频数
$2.$观测矩阵估计
$$b_j(k)=\frac{B_{jk}}{\sum _{k=1}^M{B}_{jk}}$$
$3.$初始状态的估计为初始的$q_i$频度

Baum-Welch算法

$1.$确定完全数据的对数似然函数
$$\log P(O,I|\lambda )$$
$2.$求$Q$函数
$$Q(\lambda ,\hat{\lambda })=\sum _I\log P(O,I|\lambda )P(O,I|\hat{\lambda })$$
$$P(O,I|\lambda )={\pi }_{i_1}{b}_{i_1}(o_1)a_{i_1{i}_2}{b}_{i_2}(o_2)...a_{i_{T-1}{i}_T}{b}_{i_T}(o_T)$$
$$Q(\lambda ,\hat{\lambda })=\sum _I\log {\pi }_{i_1}P(O,I|\hat{\lambda })+\sum _I(\sum _{t=1}^{T-1}\log a_{i_t{i}_{t+1}})P(O,I|\hat{\lambda })+\sum _I(\sum _{t=1}^T\log b_{i_t}(o_t)P(O,I|\hat{\lambda }))$$
$3.$最大化
$(1)$第一项
$$\sum _I\log {\pi }_{i_1}P(O,I|\hat{\lambda })=\sum _{i=1}^N\log {\pi }_{i}P(O,i_1=i|\hat{\lambda })$$
又$\sum _{i=1}^N{\pi }_i=1$,拉格朗日函数为
$$\sum _{i=1}^N\log {\pi }_{i}P(O,i_1=i|\hat{\lambda })+\gamma (\sum _{i=1}^N{\pi }_i-1)$$
对${\pi }_i$求导为0得
$$P(O,i_1=i|\hat{\lambda })+\gamma {\pi }_i=0$$
$${\pi }_i=\frac{P(O,i_1=i|\hat{\lambda })}{P(O|\hat{\lambda })}$$
$(2)$第二项
$$\sum _I(\sum _{t=1}^{T-1}\log a_{i_t{i}_{t+1}})P(O,I|\hat{\lambda })=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N\sum _{t=1}^{T-1}\log a_{ij}P(O,i_t=i,i_{t+1}=j|\hat{\lambda })$$
约束条件为$\sum _{j=1}^N{a}_{ij}=1$
$$a_{ij}=\frac{\sum _{t=1}^{T-1}P(O,i_t=i,i_{t+1}=j|\hat{\lambda })}{\sum _{t=1}^{T-1}P(O,i_t=i|\hat{\lambda })}$$
$(3)$第三项
$$\sum _I(\sum _{t=1}^T\log b_{i_t}(o_t)P(O,I|\hat{\lambda }))=\sum _{j=1}^N\sum _{t=1}^T\log b_j(o_t)P(O,i_t=j|\hat{\lambda })$$
同约束条件$\sum _{k=1}^M{b}_j(k)=1$
$$b_j(k)=\frac{\sum _{t=1}^{T}P(O,i_t=j|\hat{\lambda })I(o_t=v_k)}{\sum _{t=1}^{T}P(O,i_t=j|\widehat{\lambda )}}$$

Baum-Welch模型参数估计公式

$$a_{ij}=\frac{\sum _{t=1}^{T-1}{\xi }_t(i,j)}{\sum _{t=1}^{T-1}{\gamma }_t(i)}$$
$$b_j(k)=\frac{\sum _{t=1,o_t=v_k}^T{\gamma }_t(j)}{\sum _{t=1}^T{\gamma }_t(j)}$$
$${\pi }_i={\gamma }_1(i)$$
算法
输入：观测数据$O=(o_1,o_2,..,o_T)$
输出：隐马尔可夫模型
$(1)$对于$n=0$选取${\lambda }^{(0)}=(A^{(0)},B^{(0)},{\pi }^{(0)})$
$(2)$递推
$$a_{ij}^{(n+1)}=\frac{\sum _{t=1}^{T-1}{\xi }_t(i,j)}{\sum _{t=1}^{T-1}{\gamma }_t(i)}$$
$$b_j(k{)}^{(n+1)}=\frac{\sum _{t=1,o_t=v_k}^T{\gamma }_t(j)}{\sum _{t=1}^T{\gamma }_t(j)}$$
$${\pi }_i^{(n+1)}={\gamma }_1(i)$$
$(3)$如果满足条件，终止

预测算法

近似算法

$$i_t^{\ast }=\underset{1\le i\le N}{\mathrm{argmax}}[{\gamma }_t(i)]$$
但太简单了

维特比算法

输入:模型$\lambda ,O$
输出:最优路径$I^{\ast }$
$(1)$初始化
$${\varrho }_1(i)={\pi }_i{b}_i(o_1)$$
$${\psi }_1(i)=0$$
$(2)$递推
$${\varrho }_t(i)=\underset{1\le j\le N}{\max }[{\varrho }_{t-1}(j)a_{ji}]b_i(o_t)$$
$${\psi }_t(i)=\underset{1\le j\le N}{\mathrm{argmax}}[{\varrho }_{t-1}(j)a_{ji}]$$
$(3)$终止
$$P^{\ast }=\underset{1\le i\le N}{\max }{\varrho }_T(i)$$
$$i_T^{\ast }=\underset{1\le i\le N}{\mathrm{argmax}}[{\varrho }_T(i)]$$
$(4)$回溯最优路径