《统计学习方法》第十章隐马尔可夫模型与python实现

一、写在前面

本文是《统计学习方法》第10章隐马尔可夫模型的读书笔记。用一段百余行的Python代码实现了隐马模型观测序列的生成、前向算法、维特比算法。公式与代码相互对照，循序渐进。
HMM算是个特别常见的模型，在自然语言处理中有很多的应用，比如基于字符序列标注的分词和词性标注了。但我的理解仅仅停留在“前向算法”“Viterbi”等层次。这次静下心来，从头到尾将这章认真看完，与自己原有的理解做一个对照，加深理解。

二、隐马尔可夫模型基本概念

隐马尔可夫模型是关于时序的概率模型，描述由一个隐藏的马尔可夫链随机生成不可观测的状态随机序列，再由各个状态生成一个观测而产生观测随机序列的过程。隐藏的马尔可夫链随机生成的状态的序列，称为状态序列（state sequence);每个状态生成一个观测，而由此产生的观测的随机序列，称为观测序列（observation sequence)。序列的每一个位置又可以看作是一个时刻。

什么叫隐马尔科夫链呢？简单说来，就是把时间线看做一条链，每个节点只取决于前N个节点。就像你打开朋友圈，发现你可以根据你的基友最近的几条状态猜测出接下来TA狗嘴里要吐什么东西一样。

接下来引入一些符号来表述这个定义——

设Q是所有可能的状态的集合，V是所有可能的观测的集合。

其中，N是可能的状态数，M是可能的观测数。

状态q是不可见的，观测v是可见的。应用到词性标注系统，词就是v，词性就是q。

I是长度为T的状态序列，O是对应的观测序列。

这可以想象为相当于给定了一个词（O）+词性（I）的训练集，于是我们手上有了一个可以用隐马尔可夫模型解决的实际问题。
定义A为状态转移概率矩阵：

其中，

是在时刻t处于状态qi的条件下在时刻t+1转移到状态qj的概率。

这实际在表述一个一阶的HMM，所作的假设是每个状态只跟前一个状态有关。

B是观测概率矩阵:

其中，

是在时刻t处于状态qj的条件下生成观测vk的概率（也就是所谓的“发射概率”）。

这实际上在作另一个假设，观测是由当前时刻的状态决定的，跟其他因素无关，这有点像Moore自动机。

π是初始状态概率向量：

其中，

是时刻t=1处于状态qj的概率。

隐马尔可夫模型由初始状态概率向量π、状态转移概率矩阵A和观测概率矩阵B决定。π和A决定状态序列，B决定观测序列。因此，隐马尔可夫模型屏幕快照 2016-06-28 下午9.59.49.png可以用三元符号表示，即:

$A,B,\pi$称为隐马尔可夫模型的三要素。如果加上一个具体的状态集合Q和观测序列V，则构成了HMM的五元组，又是一个很有中国特色的名字吧。
状态转移概率矩阵A与初始状态概率向量π确定了隐藏的马尔可夫链，生成不可观测的状态序列。观测概率矩阵B确定了如何从状态生成观测，与状态序列综合确定了如何产生观测序列。
从定义可知，隐马尔可夫模型作了两个基本假设：
(1)齐次马尔可夫性假设，即假设隐藏的马尔可夫链在任意时刻t的状态只依赖于其前一时刻的状态，与其他时刻的状态及观测无关。

从上式左右两边的复杂程度来看，齐次马尔可夫性假设简化了许多计算。
(2)观测独立性假设，即假设任意时刻的观测只依赖于该时刻的马尔可夫链的状态，与其他观测及状态无关。

三、隐马尔可夫python实例

让我们抛开教材上拗口的红球白球与盒子模型吧，来看看这样一个来自wiki的经典的HMM例子：

你本是一个城乡结合部修电脑做网站的小码农，突然春风吹来全民创业。于是跟村头诊所的老王响应总理号召合伙创业去了，有什么好的创业点子呢？对了，现在不是很流行什么“大数据”么，那就搞个“医疗大数据”吧，虽然只是个乡镇诊所……但管它呢，投资人就好这口。

数据从哪儿来呢？你把老王，哦不，是王老板的出诊记录都翻了一遍，发现从这些记录来看，村子里的人只有两种病情：要么健康，要么发烧。但村民不确定自己到底是哪种状态，只能回答你感觉正常、头晕或冷。有位村民是诊所的常客，他的病历卡上完整地记录了这三天的身体特征(正常、头晕或冷)，他想利用王老板的“医疗大数据”得出这三天的诊断结果(健康或发烧)。

这时候王老板掐指一算，说其实感冒这种病，只跟病人前一天的病情有关，并且当天的病情决定当天的身体感觉。

于是你一拍大腿，天助我也，隐马尔可夫模型的两个基本假设都满足了，于是统计了一下病历卡上的数据，撸了这么一串Python代码：

states = ('Healthy', 'Fever')
 
observations = ('normal', 'cold', 'dizzy')
 
start_probability = {
   'Healthy': 0.6, 'Fever': 0.4}
 
transition_probability = {
   
    'Healthy': {
   'Healthy': 0.7, 'Fever': 0.3},
    'Fever': {
   'Healthy': 0.4, 'Fever': 0.6},
}
 
emission_probability = {
   
    'Healthy': {
   'normal': 0.5, 'cold': 0.4, 'dizzy': 0.1},
    'Fever': {
   'normal': 0.1, 'cold': 0.3, 'dizzy': 0.6},
}

states代表病情，observations表示最近三天观察到的身体感受，start_probability代表病情的分布，transition_probability是病情到病情的转移概率，emission_probability则是病情表现出身体状况的发射概率。隐马的五元组都齐了，就差哪位老总投个几百万了。
有了前面的知识，我们就可以动手写一个一阶HMM模型的定义了：

class HMM:
    """
    Order 1 Hidden Markov Model
 
    Attributes
    ----------
    A : numpy.ndarray
        State transition probability matrix
    B: numpy.ndarray
        Output emission probability matrix with shape(N, number of output types)
    pi: numpy.ndarray
        Initial state probablity vector
    """
    def __init__(self,A,B,pi):
        self.A=A
        self.B=B
        self.pi=pi

此外，我们还需要一些utility来辅助我们实现该马尔可夫模型：

def generate_index_map(lables):
    index_label = {
   }
    label_index = {
   }
    i = 0
    for l in lables:
        index_label[i] = l
        label_index[l] = i
        i += 1
    return label_index, index_label
 
 
states_label_index, states_index_label = generate_index_map(states)
observations_label_index, observations_index_label = generate_index_map(observations)
 
 
def convert_observations_to_index(observations, label_index):
    list = []
    for o in observations:
        list.append(label_index[o])
    return list
 
 
def convert_map_to_vector(map, label_index):
    v = np.empty(len(map), dtype=float)
    for e in map:
        v[label_index[e]] = map[e]
    return v
 
 
def convert_map_to_matrix(map, label_index1, label_index2):
    m = np.