动态规划算法入门基础（爬楼梯、国王与金矿）

前言：本文一些地方参考了小灰写的漫画《什么是动态规划》，里面写的很形象生动容易理解。自我感觉能把里面的都看懂两个问题实现一遍，分析时间空间复杂度，动态规划就算是入门了。但是就金矿的分析那里并不完全正确，代码是有问题的，尤其是用Java写的一定不要参照它里面的代码，里面的数组使用有很大问题。

一. 动态规划是什么

1. 基本概念

- 以斐波那契数列为例：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

- 动态规划中包含三个重要的概念：边界、最优子结构、状态转移公式

+ F(0)=0、F(1)=1 就是求解斐波那契数列的边界，这个概念有点类似于递归的初始值

+ F(2)=F(0)+F(1) 那么F(2)的最优子结构就是F(0)+F(1)

+ F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n>=3) 这个是它的状态转移公式，状态转移公式我们可以通过多找几个最优子结构总结规律就可以了

2. 核心思想

- 动态规划算法的核心：通过将某个子问题的计算结果保存到内存表中，为之后的问题提供服务，避免对子问题的重复求解，以此来提高执行效率。也就是通过牺牲空间，换来了时间效率，即time-memory trade-off

-两种实现方法：一种是top-down，一种是bottom-up

二、例题

1. 爬楼梯

题目：有一座高度是10级台阶的楼梯，从下往上走，每跨一步只能向上1级或者2级台阶，求出一共有多少种走法。

- 分析：

+ 假如说只差最后一步就走到第10级台阶会出现两种情况，第一种是从第9级走1级上到第10级，第2种是从第8级走2级上到第10级。

+ 那么引申出一个新的问题：如果我们已知0到9级台阶的走法有X种，0到8级台阶的走法有Y种，那么0到10级台阶的走法有多少种？

+ 10级台阶的所有走法可以根据最后一步的不同而分成两部分：第一部分的最后一步是从9级到10级，这部分的走法数量和9级台阶的走法数量是相等的，也就是X；第二部分的最后一步是从8级到10级，这部分的走法数量是和8级台阶的走法数量是相等的，也就是Y。这两部分相加，总的走法数量是X+Y。

+ 进而可以得出F(10)=F(9)+F(8) , F(9)=F(8)+F(7) …

- 公式：

+ 边界：F(0)=0; F(1)=1; F(2)=2;

+ 状态转移公式：F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n>=3);

- 1.1 递归求解（top-down）

public class Climb {
    public static int getClimbWays(int steps){
        if(steps<=2)
            return steps<1?0:steps;
        else