一文弄懂动态规划（DP Dynamic Programming）下楼梯，国王和金矿，背包问题，Dijkstra算法

动态规划

参考链接

漫画算法，什么是动态规划？

DP

动态规划是一种分阶段求解决策问题的数学思想

题目一

问：下楼梯问题，有一座高度是10级台阶的楼梯，从下往上走，每跨一步只能向上1级或者2级台阶，请问有多少中走法。

思路

刚才这个题目，你每走一步就有两种走法，暂时不管0级到8级台阶的过程。想要走到10级，必然是从8级或者9级走的。那么问题来了，如果我们以及0到9级台阶的走法有x种，0到8级台阶有Y种，那0到10级台阶就是X+Y。

公式就是：
F（10） = F（9）+ F（8）

当只有1级台阶的时候只有一种解法，2级台阶的时候有两种方法。

递推公式就是：
F（1） = 1
F（2） = 2
F（N） = F（N-1）+ F（N-2）

动态规划的三个概念：

1. 最优子结构
2. 边界
3. 状态转移公式

当只有1级台阶或2级台阶，我们直接得出结果，无需建华，我们就成F（1）F（2）为边界。
F（N） = F（N-1）+ F（N-2）是阶段与阶段之间的状态转移公式。

求解问题

方法一：递归法

但是复杂度很高，因为当中有很多大量的重复计算。复杂度$O(2^N)$。具体分析见开头的链接。
遇到这种情况，我们只需要创建一个哈希表，在python种建立一个字典就好了。把每次不同参数的计算结果存入哈希，当遇到相同参数时，再从哈希表里面取出，就不会重复计算了。

方法二

感觉红色箭头少了个参数。

在以上代码中，集合map是一个备忘录。当每次需要计算F(N)的时候，会首先从map中寻找匹配元素。如果map中存在，就直接返回结果，如果map中不存在，就计算出结果，存入备忘录中

其实不用对F（N）自顶向下做递归运算，可以从下往上算。已知1，2是不是就能求3了。以此类推。

题目二

国王和金矿
问：有一个国家发现了5座金矿，每座金矿的黄金储量不同，需要参与挖掘的工人数也