18、量子与经典通信复杂度差异解析

量子与经典通信复杂度差异解析

在深入研究量子通信模型之前，我们需要思考一个关键问题：量子通信是否真的能带来显著优势？乍一看，根据 Holevo 定理，似乎量子通信复杂度与经典通信复杂度相差不大。但实际上，量子通信有时能远低于经典通信复杂度。下面我们将通过四个主要例子来详细探讨量子与经典通信复杂度的差异。

1. 分布式 Deutsch - Jozsa 问题

这是一个承诺版本的相等性问题，假设 n 位输入 x 和 y 满足：要么 x = y，要么 x 和 y 恰好有 n/2 个位置不同（这里要求 n 为偶数，为方便起见，通常假设 n 是 2 的幂）。

• 量子协议步骤 ：
  1. 爱丽丝将 log n 量子比特态 $\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i = 1}^{n}(-1)^{x_i}|i\rangle$ 发送给鲍勃，她可以从 x 和 log n 个 $|0\rangle$ 量子比特幺正地制备该态。
  2. 鲍勃对该态应用幺正映射 $|i\rangle \to (-1)^{y_i}|i\rangle$，对每个量子比特应用哈达玛变换（为方便起见，可将 i 视为 log n 位字符串），然后测量得到的 log n 量子比特态。
  3. 如果测量结果为 $|0^{\log n}\rangle$，鲍勃输出 1，否则输出 0。

该协议仅通信 log n 个量子比特。其原理在于，鲍勃测量的态为：
$H^{\otimes \log n}(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i = 1}^