11、量子计算中的线性系统求解与查询复杂度下限

量子计算中的线性系统求解与查询复杂度下限

1. 线性系统问题概述

在许多工业、科学、优化和机器学习等计算问题中，求解大型线性方程组是非常重要的。线性系统问题（LSP）可描述为：给定一个 $N×N$ 的实或复矩阵 $A$ 和一个 $N$ 维非零向量 $b$，找到一个 $N$ 维向量 $x$ 使得 $Ax = b$。为了简化，通常假设 $N = 2^n$。

在很多应用中，找到一个接近实际解 $x$ 的向量 $\tilde{x}$ 就足够了。为保证存在唯一解向量 $x$（即 $x = A^{-1}b$），通常假设 $A$ 是可逆的（等价于秩为 $N$）。若 $A$ 不满秩，也可使用“摩尔 - 彭罗斯伪逆”来处理。

HHL 算法能在某些假设下快速求解“行为良好”的大型线性系统，但它并非直接输出 $N$ 维解向量 $x$，而是输出一个 $n$ 量子比特态：
[|x\rangle := \frac{1}{|x|} \sum_{i = 0}^{N - 1} x_i|i\rangle]
或接近 $|x\rangle$ 的其他 $n$ 量子比特态。这被称为量子线性系统问题（QLSP）：找到一个 $n$ 量子比特态 $|\tilde{x}\rangle$，使得 $| |x\rangle - |\tilde{x}\rangle | \leq \varepsilon$ 且 $Ax = b$。

为使线性系统适合 HHL 算法，需满足以下更严格的假设：
1. 存在一个酉变换，能使用 $B$ 个 2 - 量子比特门的电路将向量 $b$ 制备为 $n$ 量子比特量子态 $|b\rangle = \frac{1}{|b|} \sum_{i} b_i|i\rangl