03_Machine Vision_非线性滤波器

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• 图像点处理方法
• 直方图均衡化
• 图像平滑
• 图像锐化
• 非线性图像处理

非线性图像处理

线性处理滤波相当于对像素点做加权处理，可能会导致细节丢失，出现模糊的现象，针对强噪声会出现无法消除的问题。因此引入非线性滤波：但因为非线性滤波无法直接使用频域方法分析，因此使用Order Statistic Filters的方法分析。

中值滤波

中值滤波的核心思想是：用中心像素点的邻域像素值的中值作为中心点的灰度值。其数学表达式为： f ( x , y ) = m e d i a n { f ( s , t ) , ( s , t ) ∈ S x y } f(x,y)=median\{f(s,t),(s,t)\in S_{xy}\} f(x,y)=median{f(s,t),(s,t)∈Sxy​}

• 使灰度值差异较大的点更接近于邻域，可以消除突然的过大过小的像素点（面积小于滤波器窗口的一半），较大的一场区域没办法消除
• 可以消除椒盐噪声（脉冲噪声）
  • 椒盐噪声：图像中出现大量的黑白点，类似于椒盐。具有随机、极端值（0或255）以及稀疏的特点
  • 针对椒盐噪声，均值滤波器虽然会一定程度上削弱噪声，但会传播噪声
• 针对边界，均值滤波器会使边界模糊，而中值滤波器会保留边界
• 缺点是：对图像自身的点、线等细节也可能会消除

针对一个信号重复使用中值滤波，最终会收敛到一个不再变化的信号，即为“根信号”。

• 因为其保留了图片的主体信息，而且消除了高频噪声。在计算机视觉、人脸识别等很多领域直接处理根信号，而不是原始信号。

其他滤波器

最大值滤波
f ( x , y ) = m a x { f ( s , t ) , ( s , t ) ∈ S x y } f(x,y)=max\{f(s,t),(s,t)\in S_{xy}\} f(x,y)=max{f(s,t),(s,t)∈Sxy​}
最小值滤波
f ( x , y ) = m i n { f ( s , t ) , ( s , t ) ∈ S x y } f(x,y)=min\{f(s,t),(s,t)\in S_{xy}\} f(x,y)=min{f(s,t),(s,t)∈Sxy​}
中点值滤波
f ( x , y ) = 1 2 [ m a x { f ( s , t ) } + m e d i a n { f ( s , t ) , x } , ( s , t ) ∈ S x y ] f(x,y)=\frac{1}{2}[max\{f(s,t)\} + median\{f(s,t),x\},(s,t)\in S_{xy}] f(x,y)=21​[max{f(s,t)}+median{f(s,t),x},(s,t)∈Sxy​]

Alpha-trimmed 均值滤波
$$f(x,y)=\frac{1}{mn-d}\sum _{(s,t)\in S_{xy}}{f}_r(s,t)$$
其中：$f_r(s,t)$是去除极端像素后剩余的像素值，d是去除的像素个数，mn是滤波窗口的像素个数。

核心思想是去除极端噪声，后对剩下的像素值做均值。相对均值滤波可以更好的保留边缘信息。

Iterative Truncated Arithmetic Mean Filter

迭代截断算数均值滤波器，集合均值和中值的优点，同时避免中值的高复杂度。

均值：L2 范数最优解，最小化平方误差
$$\mu =\arg \underset{\phi }{\min }\sum _{i=1}^n(x_i-\phi {)}^2$$
中值：L1范数最优解，最小化绝对误差
$$\phi =\arg \underset{\phi }{\min }\sum _{i=1}^n|x_i-\phi |$$

在存在极端值的情况下，均值和中值的差距会很大。

为了评估均值和中值之间的关系，引入其他三个统计量：

• 上下分位数均值的差值
  $${\tau }_1=\frac{1}{2}({\mu }_h-{\mu }_l)$$
  其中，${\mu }_h$ 和 ${\mu }_l$ 分别为数据集中上半部分和下半部分的均值。此数据反映数据的对称性，若数值较大，则偏态严重。

• 标准差
  $${\tau }_2=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2}$$
  反映整体数据的波动性，如果数值较大，则数据包含极端值

• 平均绝对偏差
  $${\tau }_3=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n|x_i-\mu |$$
  反映数据的变异性，相对标准差，极端数值不敏感一些

其满足以下定理：

• 在任何有限的数据集中满足：
  $$|\phi -\mu |\le {\tau }_1,|\phi -\mu |\le {\tau }_2,|\phi -\mu |\le {\tau }_3$$
  均值$\mu$与中位数$\phi$ 的差距小于标准差、平均绝对方差以及上下分位数均值的差值
• ${\tau }_3$ 在所有上界中是最小的。其是中值和均值偏理程度的最佳度量。
  $${\tau }_3\le {\tau }_1,{\tau }_3\le {\tau }_2$$
• 对于任意有限数据集，如果中值偏离均值，则至少存在一个数据点，使其与均值的差值大于${\tau }_3$。
  $$\exists x_i,x_i\in X,\text{such that}|x_i-\mu |>\tau ,\text{if}\phi \ne \mu$$
  • 如果可以识别出极端值并剔除，则均值可以更接近中值
• 如果中值偏离均值，则ITM算法会单调降低截断阈值，并最终收敛至0。
  $$\tau (k)<\tau (k-1)$$

$$\underset{k\to \infty }{\lim }\tau (k)=0,\text{if}\phi \ne \mu$$

• 如果中值和均值不同，会逐渐剔除极端值，使均值逼近中值。逐渐消除极端值的影响。

ITM滤波算法：

• 计算当前均值
• 计算截断阈值，剔除极端值
  $$x_i=\{\begin{array}{ll}\mu +\tau ,& \text{if }{x}_i>\mu +\tau \\ \mu -\tau ,& \text{if }{x}_i<\mu -\tau \end{array}$$
• 检查停止条件

优势在于：避免了中值排序的计算复杂度，而且逐渐逼近于中值。比均值滤波更好的保留边缘，相比于中值滤波减少了计算量。