UVa 11768 Lattice Point or Not

题目分析

本题要求计算连接两个给定点的线段上格点（整数坐标点）的数量。与经典格点问题不同的是，本题的输入坐标可能是含一位小数的浮点数，这给问题带来了一定复杂性。

关键理解

1. 格点定义：在笛卡尔坐标系中，坐标 $(x,y)$ 均为整数的点。
2. 线段上的格点：位于线段上（包括两个端点）且坐标为整数的点。
3. 输入特殊性：坐标值范围 $|x|,|y|\le 200000$，且小数点后恰好有一位数字。

解题思路分析

第一步：消除小数影响

由于输入坐标只有一位小数，我们可以将所有坐标乘以 $10$，转化为整数坐标进行处理。例如：

• 原始坐标 $(10.1,10.1)$ → 转换后 $(101,101)$
• 原始坐标 $(11.2,11.2)$ → 转换后 $(112,112)$

这样做的目的是避免浮点数精度问题，将所有计算都放在整数域进行。

第二步：线段参数化表示

设转换后的整数坐标为：

• $P_1=(X_1,Y_1)$
• $P_2=(X_2,Y_2)$

线段上的点可以表示为：
$$P(t)=(X_1+t\cdot dx,Y_1+t\cdot dy)$$
其中：

• $dx=X_2-X_1$
• $dy=Y_2-Y_1$
• $t$ 为参数，且 $0\le t\le g$，其中 $g=\gcd (|dx|,|dy|)$

这里 $g+1$ 表示线段上等分点的数量（在放大10倍的坐标系中）。

第三步：筛选真正格点

虽然线段上有 $g+1$ 个等分点，但只有那些坐标能被 $10$ 整除的点才是原坐标系中的整数格点。因为：

• 放大10倍后坐标为 $(X,Y)$
• 原坐标为 $(x,y)=(X/10,Y/10)$
• 只有当 $X\%10=0$ 且 $Y\%10=0$ 时，$(x,y)$ 才是整数坐标

因此，算法流程为：

1. 遍历所有等分点 $t=0,1,2,\dots ,g$
2. 对每个点计算坐标 $(X,Y)$
3. 检查是否满足 $X\%10=0$ 且 $Y\%10=0$
4. 统计满足条件的点数

第四步：特殊处理

• 两点重合情况：如果 $dx=0$ 且 $dy=0$，则线段退化为一个点。此时只需检查该点是否为整数格点。
• 坐标相等情况：如果 $dx=0$ 或 $dy=0$，算法依然适用，因为 $\gcd$ 函数能正确处理。

算法复杂度

• 每组数据需要计算一次 $\gcd$，时间复杂度 $O(\log (\max (|dx|,|dy|)))$
• 需要遍历 $g+1$ 个点进行检查，最坏情况下 $g$ 可能达到 $4\times 10^6$（当 $|dx|=|dy|=200000\times 10$ 且互质时）
• 但实际测试中 $g$ 通常较小，算法能在时限内通过

数学原理

设 $dx$ 和 $dy$ 的最大公约数为 $g$，则线段上整数点（在放大 $10$ 倍的坐标系中）的坐标为：
$$\left(X_1+\frac{dx}{g}\cdot t,Y_1+\frac{dy}{g}\cdot t\right),t=0,1,2,\dots ,g$$

这些点均匀分布在线段上，相邻点之间的 $x$ 坐标差为 $\frac{dx}{g}$，$y$ 坐标差为 $\frac{dy}{g}$。

代码实现

// Lattice Point or Not
// UVa ID: 11768
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-12-03
// UVa Run Time: 0.110s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double x1, y1, x2, y2;
        scanf("%lf %lf %lf %lf", &x1, &y1, &x2, &y2);
        
        // 乘以10转换为整数坐标，避免浮点误差
        int X1 = round(x1 * 10);
        int Y1 = round(y1 * 10);
        int X2 = round(x2 * 10);
        int Y2 = round(y2 * 10);
        
        int dx = X2 - X1;
        int dy = Y2 - Y1;
        
        // 处理两点重合的特殊情况
        if (dx == 0 && dy == 0) {
            if (X1 % 10 == 0 && Y1 % 10 == 0) printf("1\n");
            else printf("0\n");
            continue;
        }
        
        // 计算dx和dy的最大公约数
        int g = __gcd(abs(dx), abs(dy));
        dx /= g;  // x方向每步增量
        dy /= g;  // y方向每步增量
        
        int count = 0;  // 统计整数格点数量
        for (int t = 0; t <= g; t++) {
            int x = X1 + t * dx;
            int y = Y1 + t * dy;
            // 检查是否为原坐标系中的整数点
            if (x % 10 == 0 && y % 10 == 0) count++;
        }
        printf("%d\n", count);
    }
    return 0;
}

测试样例验证

样例输入

3
10.1 10.1 11.2 11.2
10.2 100.3 300.3 11.1
1.0 1.0 2.0 2.0

样例输出

1
0
2

分析

1. 第一组：$(10.1,10.1)$ 到 $(11.2,11.2)$

   • 斜率接近1，线段上有且仅有一个整数格点 $(11,11)$

2. 第二组：$(10.2,100.3)$ 到 $(300.3,11.1)$

   • 线段上没有任何整数格点

3. 第三组：$(1.0,1.0)$ 到 $(2.0,2.0)$

   • 端点本身就是整数格点，且线段上只有这两个整数格点

总结

本题的关键在于：

1. 坐标转换：通过乘以 $10$ 将一位小数坐标转换为整数坐标
2. 参数化表示：利用最大公约数将线段等分，得到所有候选点
3. 条件筛选：检查坐标是否能被 $10$ 整除，确定是否为真正的整数格点

这种方法避免了浮点数比较的精度问题，将问题完全转化为整数计算，保证了算法的正确性和效率。