UVa 105 The Skyline Problem

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题目描述

给定一系列建筑物的位置信息，每个建筑物用一个三元组 $L_i, H_i, R_i)$ 表示，其中 $L_i$ 和 $R_i$ 分别是建筑物的左右边界坐标 ( $0 < L_i < R_i$ )， $H_i$ 是建筑物的高度。所有建筑物都是底部对齐的矩形，且城市视为二维平面。要求根据这些建筑物的轮廓，输出描述整个城市天际线的向量序列。

输入

一系列建筑物的三元组，每行一个。
坐标均为小于 $10000$ 的整数，建筑物数量 $\leq n \leq 5000$ 。
三元组已按 $L_i$ 升序排列。

输出

一个向量序列，描述从最小 $x$ 坐标开始，沿天际线“行走”的路径。
向量中奇数位表示 $x$ 坐标，偶数位表示高度。
序列以高度 $0$ 结束。

示例
输入：

输出：

1 11 3 13 9 0 12 7 16 3 19 18 22 3 23 13 29 0

题目分析

本题可以看作是一个二维平面上的矩形覆盖问题：多个矩形在 $x$ 轴上排列，高度不同，我们需要找出它们所形成的外轮廓线。

关键点：

每个矩形在 $L_i, R_i)$ 区间内贡献一个高度 $H_i$ 。
在任意 $x$ 坐标处，可见高度为所有覆盖该点的矩形高度的最大值。
天际线由这些局部高度变化点构成：当高度发生变化时，就产生一个转折点。

解题思路

方法：离散化 + 扫描线

由于坐标范围较小（< $10000$ ），我们可以直接使用一个数组 grid 来记录每个整数 $x$ 坐标处的最大高度。

初始化
- 创建一个长度为 $M A XN$ 的数组 grid，初始值为 $0$ 。
- 记录所有建筑物中最小左边界 leftMost 和最大右边界 rightMost。
处理输入
- 对于每个建筑物 $L_i, H_i, R_i)$ ，在区间 $L_i, R_i]$ 内更新 grid[x] 为 max(grid[x], H_i)。
- 注意：这里取的是闭区间，因为题目中建筑物右边界也是轮廓的一部分。
生成输出
- 从 leftMost 开始扫描到 rightMost。
- 当高度发生变化时：
  - 若高度增加，输出当前 $x$ 和新高度。
  - 若高度降低，输出前一个 $x$ （即 i-1）和新高度。
- 最后输出 rightMost 和 $0$ ，表示轮廓结束。

复杂度分析

时间复杂度：最坏情况下，每个建筑物更新区间长度可达 $10000$ ，建筑物数量最多 $5000$ ，总操作次数约为 $5000 \times 10000 = 5 \times 10^7$ ，在合理优化下可以接受。
空间复杂度： $O (M A XN)$ ，即 $O (10010)$ 。

注意事项

建筑物右边界坐标 $R_i$ 处的轮廓高度应取 $0$ ，但实际代码中在更新区间时包含了右端点，因此在输出时需注意转折点的位置。
输出格式要求以 $0$ 结尾，表示轮廓回到地面。

代码实现

// Skyline Problem
// UVa ID: 105
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2011-11-22
// UVa Run Time: 0.036s
//
// 版权所有（C）2011，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define MAXN 10010

int grid[MAXN];

int main (int argc, char const* argv[])
{
    int left, height, right, leftMost, rightMost = 0;
    bool leftSetted = false;

    memset(grid, 0, sizeof(grid));

    while (cin >> left >> height >> right)
    {
        for (int i = left; i <= right; i++)
            grid[i] = max(grid[i], height);

        if (!leftSetted)
        {
            leftMost = left;
            leftSetted = true;
        }
        
        rightMost = max(rightMost, right);
    }

    cout << leftMost << " " << grid[leftMost];

    int current = leftMost;
    for (int i = leftMost; i <= rightMost; i++)
    {
        if (grid[i] == grid[current])
            continue;
        else
        {
            if (grid[i] > grid[current])
                cout << " " << i << " " << grid[i];
            else
                cout << " " << (i - 1) << " " << grid[i];
                
            current = i;
        }
    }

    cout << " " << rightMost << " 0\n";

    return 0;
}