欧拉常数 Euler-Mascheroni constant 以及调和级数

本文探讨了调和级数的发散性质及其与欧拉-马斯刻若尼常数γ的关系，通过数学推导展示了该常数的重要性，并提供了一个计算调和级数的ACM示例代码。

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http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html

调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的，证明如下：

由于 ln(1+1/n)<1/n （n=1，2，3，…）

于是调和级数的前n项部分和满足

Sn = 1+1/2+1/3+…+1/n

> ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)

= ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]

= ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)

lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞

所以Sn的极限不存在，调和级数发散。

但数列 Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n) 极限存在（当n→∞时），因为

Sn = 1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)

> ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)

= ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)

lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0，因此Sn有下界；

S(n)-S(n+1) = ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)

= ln(1+1/n)-1/(n+1) > ln(1+1/n)-1/n > 0

所以Sn单调递减。由单调有界数列必有极限，知Sn有极限，定义这个极限为γ，这个数就叫作欧拉常数，近似值约为0.57721566490153286060651209...，目前还不知道它是有理数还是无理数。

在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）：

lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]
= lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)] - lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]
+ lim[ln(n+n)-ln(n)] = γ-γ+ln2 = ln2

ACM计算调和级数。

#include <cstdio>
#include <cmath>

#define MAXN 100000

double a[MAXN];

int main() {
    int n;
    int i;
    double ans;

    a[0] = 0;
    for (i=1; i<MAXN; ++i)
        a[i] = a[i-1]+1.0/i;

    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        if (n < MAXN) {
            ans = a[n];
        } else {
            ans = log(n*1.0)+0.57721566490153286060651209;
        }
        printf("%.4lf\n", ans);
    }

    return 0;
}