欧拉常数 Euler-Mascheroni constant 以及调和级数

本文探讨了调和级数的发散性质及其与欧拉-马斯刻若尼常数γ的关系,通过数学推导展示了该常数的重要性,并提供了一个计算调和级数的ACM示例代码。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

转自点击打开链接

http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html
 
调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的,证明如下:


由于 ln(1+1/n)<1/n (n=1,2,3,…)


于是调和级数的前n项部分和满足


Sn = 1+1/2+1/3+…+1/n
 
   > ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)


   = ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]


   = ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)


lim Sn(n→∞)≥lim ln(n+1)(n→∞)=+∞


所以Sn的极限不存在,调和级数发散。


但数列 Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n) 极限存在(当n→∞时),因为


Sn = 1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)
 
   > ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
 
   = ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)


lim Sn(n→∞)≥lim ln(1+1/n)(n→∞)=0,因此Sn有下界;


S(n)-S(n+1) = ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)
 
            = ln(1+1/n)-1/(n+1) > ln(1+1/n)-1/n > 0


所以Sn单调递减。由单调有界数列必有极限,知Sn有极限,定义这个极限为γ,这个数就叫作欧拉常数,近似值约为0.57721566490153286060651209...,目前还不知道它是有理数还是无理数。
 
在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等。例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)](n→∞):


lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]
= lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)] - lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]
  + lim[ln(n+n)-ln(n)] = γ-γ+ln2 = ln2



ACM计算调和级数。

#include <cstdio>
#include <cmath>

#define MAXN 100000

double a[MAXN];

int main() {
    int n;
    int i;
    double ans;

    a[0] = 0;
    for (i=1; i<MAXN; ++i)
        a[i] = a[i-1]+1.0/i;

    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        if (n < MAXN) {
            ans = a[n];
        } else {
            ans = log(n*1.0)+0.57721566490153286060651209;
        }
        printf("%.4lf\n", ans);
    }

    return 0;
}


评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值