精确表达浮点数

题目:在计算机中,使用float或者double来存储小数是不能得到精确值的。如果你希望得到精确计算结果,最好是用分数形式来表示小数。有限小数或者无限循环小数都可以转化为分数。比如:

0.9 = 9/10

0.333(3)= 1/3(括号中的数字表示是循环节)

当然一个小数可以用好几种分数形式来表示。如:

0.333(3)= 1/3 = 3/9

给定一个有限小数或者无限循环小数,你能否以分母最小的分数形式来返回这个小数呢?如果输入为循环小数,循环节用括号标记出来。下面是一些可能的输入数据,如0.3、0.30、0.3(000)、0.3333(3333)、……


分析与解法

拿到这样一个问题,我们往往会从最简单的情况入手,因为所有的小数都可以分解成一个整数和一个纯小数之和,不妨只考虑大于0,小于1的纯小数,且暂时不考虑分子和分母的约分,先设法将其表示为分数形式,然后再进行约分。题目中输入的小数,要么为有限小数X=0.a1a2an,要么为无限循环小数X=0.a1a2anb1b2bm),X表示式中的字母a1a2anb1b2bm都是0~9的数字,括号部分(b1b2bm)表示循环节,我们需要处理的就是以上两种情况。

对于有限小数X=0.a1a2an来说,这个问题比较简单,X就等于(a1a2an)/10n

对于无限循环小数X=0.a1a2anb1b2bm)来说,其复杂部分在于小数点后同时有非循环部分和循环部分,我们可以做如下的转换:

X = 0.a1a2anb1b2bm

10nX= a1a2an.(b1b2bm

10nX= a1a2an+0.(b1b2bm

X =(a1a2an+0.(b1b2bm))/10n

对于整数部分a1a2an,不需要做额外处理,只需要把小数部分转化为分数形式再加上这个整数即可。对于后面的无限循环部分,可以采用如下方式进行处理:

Y=0. b1b2bm,那么

   10m *Y=b1b2bm.(b1b2bm

10m *Y=b1b2bm+0.(b1b2bm

10m *Y-Y=b1b2bm

Y= b1b2b/(10m-1)

Y代入前面的X的等式可得:

X =(a1a2an+Y)/10n

=(a1a2an+ b1b2bm/(10m-1))/10n

=((a1a2an)*(10m-1)+ b1b2bm))/((10m-1)*10n

至此,便可以得到任意一个有限小数或无限循环小数的分数表示,但是此时分母未必是最简的,接下来的任务就是让分母最小,即对分子和分母进行约分,这个相对比较简单。对于任意一个分数A/B,可以简化为(A /Gcd(AB))/(B /Gcd(AB)),其中Gcd函数为求AB的最大公约数,这就涉及本书中的算法(2.7节“最大公约数问题”),其中有很巧妙的解法,请读者阅读具体的章节,这里就不再赘述。

综上所述,先求得小数的分数表示方式,再对其分子分母进行约分,便能够得到分母最小的分数表现形式。

例如,对于小数0.3(33),根据上述方法,可以转化为分数:

0.3(33)

=(3 *(102-1)+ 33)/((102-1)*10)

=(3*99+33)/990

= 1 / 3

对于小数0. 285714(285714),我们也可以算出:

0. 285714(285714)

= (285714 *(106-1) + 285714) / ((106-1)*106

= (285714*999999 +285714) / 999999000000

= 285714 / 999999

= 2/7


这是编程之美书中给的答案,说的很啰嗦,其实跟把大象放入冰箱一样,就是三步好嘛

一:左移,使非循环部分表示为分数;

二:再左移,使循环部分表示为分数;

三:约分



11076 浮点数分数表达 时间限制:1000MS 内存限制:1000K 提交次数:0 通过次数:0 题型: 编程题 语言: 无限制 Description 在计算机中,用float或double来存储小数有时不能得到精确值,若要精确表达一个浮点数的计算结果, 最好用分数来表示小数,有限小数或无限循环小数都可以转化为分数,无限循环小数的循环节用括号标记出来。如: 0.9 = 9/10 0.(3) = 0.3(3) = 0.3(33) = 1/3 当然一个小数可以用好几种分数形式来表示,我们只感兴趣最简的分数形式(即分母最小),如: 0.3(33) = 1/3 = 3/9 因为任何一个数都可以转化为一个整数和一个纯小数之和,整数部分较为简单无需做额外处理,只要将纯小数部分转化为分数形式,整数部分的分数部分就很简单了。 现在给定一个正的纯小数(这个纯小数为有限小数或无限循环小数),请你以最简分数形式来返回这个纯小数。 输入格式 给定一个纯小数,若是无限循环小数,用括号标记循环节,输入小数表达不超过100个字符。 输出格式 输出:化为最简分数形式,分子在前,分母在后,中间空格连接。 输入样例 0.3(33) 输出样例 1 3 提示 此题涉及如下几个问题: 一、字符串输入的问题 此题采用字符串接收输入,大家在接受数据的时候,不要用(c=getchar())!='\n'诸如此类一个字符一个字符接受, 然后判断是否是回车符号来结束输入,这样的方式在你本机运行不会有问题,但OJ系统中会有错误,无法输出结果, 因为OJ的测试平台行末并非'\n'字符。这里接受数据用scanf的%s,或cin等,会自动判别结束字符的,你就不要在你程序里专门去判别或吸收回车字符。 char a[105]; scanf("%s",a); 或cin >> a; 二、高精度或64位整数表示的问题 此题题目规定:输入小数表达不超过100个字符。 如此长的数,本意要大家用高精度数的运算来求解. 但后台测试数据没有做如此之长,放松一些吧,用64位整数也是允许通过的! 实现上,所有分子分母的变量,以及求最大公约数,都须用64位整数。 编译环境不同,对64位整数的定义和输入输出略有不同: 1)gnu gcc/g++ 中long long类型,或unsigned long long, 输入输出用cin和cout直接输出,用scanf和printf也可以的。 long long a; cin >> a; cout << a; 也可以使用:(注意一下,本OJ系统的gcc/g++不支持64位整数以"%I64d"形式输出, 但标准gnu gcc是支持如下的,在codeblocks上可以无误运行) scanf("%I64d",&a); printf("%I64d",a); 2)vc中用__int64类型,或unsigned __int64 scanf("%I64d",&a); printf("%I64d",a); vc下,64整数不要用cin和cout来输入输出,据说vc下64位整数兼容不好,会出错!大家可测试一下如下程序在vc下是否会出错? __int64 a; cin >> a; cout << a; 三、本题的解题思路 考虑输入的是纯小数,先暂时不考虑分子和分母有公因子的情况。 (1) 假设有限小数:X = 0.a1a2…an,式中的a1,a2,…,an都是0~9的数字。 X = 0.a1a2…an = a1a2…an/10^n (2) 假设无限循环小数:X = 0.a1a2…an(b1b2…bm),式中的a1,a2,…,an, b1,b2,…,bm都是0~9的数字,括号为循环节。 第一步,先将X化为只有循环部分的纯小数。 X = 0.a1a2…an(b1b2…bm) (10^n)*X = a1a2…an + 0.(b1b2…bm) X = (a1a2…an + 0.(b1b2…bm)) / (10^n) 上式中,a1a2…an是整数部分,容易解决。重点考虑小数部分0.(b1b2…bm)如何化为分数形式,再加上整数部分即可。 第二步,考虑Y = 0.(b1b2…bm),将Y化为分数, (10^m)*Y = b1b2…bm + 0.(b1b2…bm) ((10^m)-1)*Y = b1b2…bm Y = b1b2…bm / ((10^m)-1) 将第二步的Y带入第一步的X,可得: X = (a1a2…an+Y)/(10^n) = ((a1a2…an)*((10^m)-1) + (b1b2…bm)) / ((10^m)-1)*(10^n) 此时,可以将任何一个有限小数或无限循环小数,化为分数表示,分数的分子和分母如上分析的公式。 但此时的分子分母未必是最简化的,对分子分母再进行约分, 删去公共的因子,A/B = (A/GCD(A,B))/(B/GCD(A,B)),化为简单形式。 作者 zhengchan --------------------------------------------------------------------------------
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