22、递归编程中的互递归问题解析

递归编程中的互递归问题解析

1. 污水处理厂难题

在污水处理厂难题中，有 n 个城市沿河流一侧分布，每个城市都有一个污水处理厂。城市产生的污水需在某个处理厂净化后通过管道排入河流，相邻城市间有管道相连。若处理厂正常工作，会净化本城市及相邻城市流入的污水并排入河流；若处理厂故障，则需将污水送往其他城市。

1.1 城市间水流建模

水在连接相邻城市的 n - 1 根管道中有三种流动方式，用字符表示：‘N’ 表示无水流，‘R’ 表示水流向右，‘L’ 表示水流向左。可以将污水排入河流的方式建模为长度为 n - 1 的字符串，且字符串中不能出现子串 “LR”。

设 f(n) 为该问题的解：
- 当 n = 1 时，只有一个城市，其处理厂必须排放污水，所以 f(1) = 1 。
- 当 n = 2 时，有三种可能，对应长度为 1 的包含三种字符的字符串，所以 f(2) = 3 。

该问题可通过多递归算法解决，递归规则为 f(n) = 3f(n - 1) - f(n - 2) ，代码实现如下：

def water_multiple(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 3
    else: