22、时滞系统分析与控制

时滞系统分析与控制

1. 时滞系统的单位阶跃响应与特性

在时滞系统的研究中，我们首先关注到一个具有 50 阶 Padé 近似的时滞 $e^{-s}$ 的系统 $\tilde{G}(s)$ 的单位阶跃响应。通过绘制响应曲线，我们可以直观地观察到系统在不同时间点的输出变化。

同时，对于多项式 $p(jω)$，当参数 $\alpha$ 增大时，其幅值的最小值趋于零，这会导致系统的 $H_{\infty}$ 范数趋于无穷大。这一特性在系统分析中具有重要意义，因为 $H_{\infty}$ 范数的大小反映了系统对外部干扰的抑制能力。

2. 直接法评估时滞系统稳定性

2.1 基本原理

直接法用于评估形如 $p(s, τ) = p_0(s) + p_1(s)e^{-sτ}$ 的准多项式的稳定性，前提是无延迟系统稳定，即 $p(s, 0)$ 的根都在左半平面。为了找到使延迟系统稳定的延迟极限值 $\tau^*$，我们考虑特征方程 $p(s, τ) = 0$ 在虚轴上的解。

由于复根的共轭对称性，我们可以寻找 $p(s, τ) = 0$ 和 $p(-s, τ) = 0$ 在 $s = jω$ 时的同时解：
[
\begin{cases}
p_0(jω) + p_1(jω)e^{-jωτ} = 0 \
p_0(-jω) + p_1(-jω)e^{jωτ} = 0
\end{cases}
]
通过推导得到 $e^{jωτ} = -\frac{p_0(-jω)}{p_1(-jω)}$，代入原方程可得 $p_0(jω)p_0(-jω) - p_1(jω)p_1(-jω)