A symmetric Hadamard matrix of order 2

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#matlab #线性代数 #抽象代数 #矩阵

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mcs_liyun
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结构之法 算法之道
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我司自去年7月份成立大模型项目团队以来，至今已有5个项目组，其中所有项目均为会对外上线发布的商用项目，而论文审稿GPT至今在过去的半年已经迭代两个版本，其中第二版的效果甚至超过了GPT4(详见《)，为了持续累积与原始GPT4的优势，我们如今正在迭代第2.5版本：包括对GPT3.5 turbo 16K的微调以及llama2 13B的微调，本文也因此而成。
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基于复杂山地环境下无人机自主动态避障的三维路径规划研究，MATLAB代码
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Simulink初学笔记
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第一步，在Marla中打开。第六步，这是小的常用组件。第五步，使用普通组件。
MATLAB环境下基于双向长短时记忆网络的时间序列预测探索
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这种双向信息的利用，极大地提升了模型处理序列数据的能力，进而提高了模型的准确率。在时间序列预测的领域里，我们总是在寻找更有效的模型。1997 年 Schuster 提出的双向循环神经网络 BiRNN 可以说是一个重要的里程碑，它由一个正向和反向的循环神经元组成，前向神经元的输出直接作为后向神经元的输入，这一独特的结构让模型对序列的处理有了新的视角。这里定义了一个延迟向量，在时间序列预测中，延迟的选择很关键，它决定了模型能参考到过去哪些时刻的数据，就像刚才说的回顾走过的路，这个向量就规定了能看多远。
Naively Symmetric Normalized Matrix是什么
08-22
在图神经网络（GNN）中，**Naively Symmetric Normalized Matrix** 是一种图的邻接矩阵归一化方式，通常用于图卷积网络（GCN）中，目的是让图的结构信息更适配神经网络的传播规则。 --- ### ✅ 定义：Naively Symmetric Normalized Matrix 是什么？ 它通常表示为： $$ \tilde{A}_{\text{sym}} = D^{-\frac{1}{2}} A D^{-\frac{1}{2}} $$ 其中： - $ A $：图的邻接矩阵（adjacency matrix） - $ D $：度矩阵（degree matrix），是一个对角矩阵，$ D_{ii} = \sum_j A_{ij} $ - $ D^{-\frac{1}{2}} $：对度矩阵的每个对角元素取平方根倒数 这个矩阵是对称的（symmetric），并且每个元素都进行了对称归一化。 --- ### 🧠 为什么叫“Naively Symmetric”？ - **对称性（Symmetric）**：因为 $ \tilde{A}_{\text{sym}} $ 是对称矩阵，即 $ \tilde{A}_{\text{sym}} = \tilde{A}_{\text{sym}}^T $。 - **“Naively”（朴素）**：是因为它在某些图结构中可能表现不够好，比如度数差异非常大的图。它假设所有边的权重都一样，没有考虑方向或边的权重变化。 --- ### 🧮 举个例子 考虑一个简单的图，其邻接矩阵 $A$ 和度矩阵 $D$ 为： $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} $$ 那么： $$ D^{-\frac{1}{2}} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} $$ 于是： $$ \tilde{A}_{\text{sym}} = D^{-\frac{1}{2}} A D^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} A $$ --- ### ✅ 在 GCN 中的应用 这是 **Kipf & Welling 的 GCN** 中使用的传播规则： $$ H^{(k)} = \sigma\left( \tilde{D}^{-\frac{1}{2}} \tilde{A} \tilde{D}^{-\frac{1}{2}} H^{(k-1)} W^{(k)} \right) $$ 其中： - $ \tilde{A} = A + I $：加上自环的邻接矩阵 - $ \tilde{D} $：对应的度矩阵 - $ W^{(k)} $：第 $k$ 层的可学习参数 - $ \sigma $：激活函数（如 ReLU） --- ### 🧪 为什么使用对称归一化？ - **防止梯度爆炸/消失**：归一化让邻接矩阵的谱半径（最大特征值）控制在合理范围内。 - **平滑信息传播**：使得信息在图上传播更加均匀。 - **适用于无向图**：因为对称归一化只适用于无向图（邻接矩阵是对称的）。 --- ### 🔁 与非对称归一化（如 $D^{-1}A$）的区别 | 归一化方式 | 表达式 | 是否对称 | 特点 | |------------|--------|----------|------| | 对称归一化 | $D^{-1/2}AD^{-1/2}$ | ✅ 是 | 更稳定，适合无向图 | | 非对称归一化 | $D^{-1}A$ | ❌ 否 | 更适合有向图，但稳定性略差 | --- ### ✅ Python 示例：使用 PyTorch Geometric 实现对称归一化 ```python import torch from torch_geometric.nn import GCNConv from torch_geometric.data import Data # 构造一个简单图 edge_index = torch.tensor([[0, 1, 1, 2], [1, 0, 2, 1]], dtype=torch.long) x = torch.tensor([[-1], [0], [1]], dtype=torch.float) data = Data(x=x, edge_index=edge_index) # 使用 GCN 层（内部自动进行对称归一化） conv = GCNConv(1, 1) output = conv(data.x, data.edge_index) print("Output:", output) ``` --- ### ✅ 总结 | 问题 | 回答 | |------|------| | 什么是 Naively Symmetric Normalized Matrix？ | 是一种图邻接矩阵的归一化方式：$ D^{-1/2} A D^{-1/2} $ | | 为什么叫“Naively”？ | 因为它是一种简单、对称但可能不够灵活的归一化方式 | | 为什么用它？ | 可以稳定图神经网络训练，防止信息扩散不均 | | 应用在哪？ | GCN、Graph U-Net 等图神经网络中 | ---
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