剑指offer06变态跳台阶

土豆崽

于 2020-05-05 14:56:46 发布

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分类专栏：剑指offer

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本文详细解析了青蛙跳台阶问题，通过动态规划和递归两种方法，探讨了青蛙跳上n级台阶的不同跳法总数的计算。从数学角度出发，最终简化为f(n)=2*f(n-1)的公式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路：青蛙为什么总要跳台阶，在井里呆着看天不好么，或者在温水里泡澡不美么
f(n)为跳n个台阶需要的方法：
如果第一次跳1个台阶，剩余n-1,方法为f(n-1)个
如果第一次跳2个台阶，剩余n-1,方法为f(n-2)个
…
如果第一次跳n-1个台阶，剩余1,方法为f(1)个
如果第一次跳n个台阶，剩余0,方法为f(n-n)=f(0)个
综上得出
f(n)=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)+f(0)
f(0) = 1; f(1) =1 这相当于基础项，后面的都是由这两项不断计算得到的
后面这部分我没想到看了讨论才意识到可以转化为2倍的关系
f(2)=f(1)+f(0)
f(3)=f(2)+f(1)+f(0)=2f(2)
f(4)=f(3)+f(2)+f(1)+f(0)=2f(3)
…
f(n) = 2*f(n-1)

代码如下：

  # -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        # write code here
        a = [1,1]
        if (number==1):
            res = 1
        else:
            for i in range(2,number+1):
                a.append(sum(a[j] for j in range(i)))
            res = a[number]
        return res

修改后 f(n) = 2*f(n-1)

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        # write code here
        a = [1,1]
        if (number==1):
            res = 1
        else:
            for i in range(2,number+1):
                a.append(a[i-1]*2)
            res = a[number]
        return res

递归写法

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        # write code here
        if (number==0)or(number==1):
            res = 1
        else:
            res = self.jumpFloorII(number-1)*2
        return res