网友来信：关于几何级数的图形证明

    某日夜里我突发奇想，想到用分形图形来表示各种几何级数，于是写下了上一篇日志。日志发出后我收到了相当多的回复，很多网友告诉我说，这篇日志还留下了很多空白，大有扩展的潜力和推广的空间，非常具有启发性。网友morrowind在原日志第29楼评论说，大图形里面放置若干个相似的小图形时，并不一定要对应边与对应边相拼。考虑一个边长分别为1和根号5的矩形，它能够轻易地分成五个相同的小矩形，并且每一个都和原来的相似。这样的话，我们便又能递归地表示(1/5)^n了。只要能够递归地表示出(1/5)^n，从图形上我们总可以得出Σ(1/5)^n=1/4的结论，因为在每一个尺度下总有四个未被继续分割的区域，其中染色的区域始终占据了1/4。
    12楼的est用一个极其简单的式子给出了Σ(1/5)^n=1/4的证明：在五进制中，0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + ... = 0.11111...，这恰好就说明了1/5 + 1/25 + 1/125 + .. = 1/4。上述两套证明方案对所有大于2的正整数n都成立，并且仔细思考你会看出它们的本质是相同的：0.11111...就是0.44444...的1/4，因为在每一个小数位上前者都是后者的1/4。

 
   

    网友陈熙发来邮件说，我们不见得非要把原图形分割为n个互相全等的小区域，只要它们面积相等就可以了。为了用图形说明1/5 + 1/25 + 1/125 + .. = 1/4，只需要在大正方形正中间画一个边长为1/sqrt(5)的小正方形即可，然后将“外框”的其中1/4染色，并递归地处理小正方形。这样，我们就非常直观地得到了想要的结论。这个方法同样对所有大于2的正整数n都成立——把正方形改成正n-1边形即可。或者更简单地，我们可以直接用圆来代替正多边形。

 
   

    一位好朋友告诉我说，前几天matrix介绍过一个图形证明，它可以处理所有的情况——不仅仅是底数为正整数的倒数的情况。这种方法能够一举解决底数为一切(0,1)内的实数的情况。原理很简单，利用一连串相似图形得到x^n，再用相似三角形的对应边之比得到Σx^n的公式。群众的智慧是强大的，期待大家还能找出更新、更牛的做法来。