csdn上的一个数学猜想

jintianhu2000在这个帖子里说：

这是本人读高中时发现的一个数学猜想，一直不能证明或推翻
 
任何一个不能被3整除的偶数，如488，按下列步骤：
若该数为偶数，则把它各位数之和的平方作为新数；若该数为奇数，则把它各位数之和的立方作为新数。再把那个新数重复以上步骤（偶数就各位数之和平方，奇数就各位数之和立方），一步步计算下去，肯定能在9步内变为1。
如：
  488(偶)    4+8+8=20      20*20=400
  400(偶)    4+0+0=4       4*4=16
  16(偶)     1+6=7         7*7=49
  49(奇)     4+9=13        13*13*13=2197
  2197(奇)   2+1+9+7=19    19*19*19=6859
  6859(奇)   6+8+5+9=28    28*28*28=21952
  21952(偶)  2+1+9+5+2=19  19*19=361
  361(奇)    3+6+1=10      10*10*10=1000
  1000(偶)   1+0+0+0=1     1*1=1   （共9步）
 
哪位高手能证明或推翻它？？

    这个“9”步可是大有玄机。写一个小程序统计n<=1 000 000的范围内需要k次变换才能变成1的有多少个数，程序运行结果如下：

6, 1786, 31779, 58756, 57730, 55571, 83186, 25783, 18737, 0, 0, 0, ...

    可以看到，需要8步的有25783个数，需要9步的有18737个，但需要9步以上的硬是一个数都没有，这个“断裂”感觉有点不自然。为什么有5.6%的数都需要9步，却没有一个数需要9步以上？即使我们找到了一个（可能很大的）反例，这个现象仍然值得深究。
    另外，很多人认为这个命题显然是错误的，这种说法是不正确的。虽然对于充分大的数其数字和也能达到足够大，但这个数字和是要平方（或者立方）的。你不能指望每次操作后新的数恰好又是99999...99这样令人满意的极端形式，很有可能按照这个算法来个两三次就变成10000...000了。寻找一个反例并不那么简单。

    40楼mathe指出了第一个反例，这个反例是一个各位数字和S＝70616022582298623212586706134294505827921361106736747909217704596951778822208的偶数。由于这个数字和S不能被3整除，因此原数也不能被3整除。数字和为S的偶数是一定存在的，例如S个“1”后面再加一个“0”。第一次变换后该数将变为

  70616022582298623212586706134294505827921361106736747909217704596951778822208^2
= 49866226453437091137711536298477731014510413655235894003548957882878563978585
   95386978574399462830249936249115434841097417814389990990179862339647673995264

    在Mathematica上用Total[IntegerDigits[%]]^(2 + Mod[%, 2])可以轻易验证，后面几步分别变为595984, 1600, 49, 2197, 6859, 21952, 361, 1000, 1，整个过程一共10步。原猜想被推翻。此后，命题的一些扩展形式成了人们关注的焦点。
    一个有趣的问题是，该问题最小的反例是多少？这个“最小的反例”很有可能比著名的Pólya猜想要强得多。1919年，Pólya曾经猜想：小于等于n的正整数中，质因子个数为奇数的数不少于质因子个数为偶的数。1958年C.B.Haselgrove给出了第一个反例，这个反例有361位。1980年，Minoru Tanaka找出了Pólya猜想最小的反例n=906150257。